Grundlagen der Transfiniten Arithmetik

Question

Wie könnte das 1 x 1 der von Cantor begründeten transfiniten Arithmetik aussehen (vorausgesetzt dass 2^aleph null ungleich Aleph eins = c (Kardinalzahl des Kontinuums),  sondern: 2^aleph null = aleph null = c (Basis-Kardinalzahl des Kontinuums)?

Vorschlag:

Es sei

n = jede beliebige rationale Zahl (1, 2, 3..,0.12, 314,10^50, 10^-80, 0,999... ect)

IR = irrationale Zahl mit algebr. Anteil (z.B. Wurzel 2)

T  = transzendente Zahl (e, pi.. ect.)

K  = komplexe Zahl (i^2.. ect.)

a 0 = aleph  0 = unendlich null = c (Basis-Kardinalzahl d. Kontinuums)

A 1 = Aleph 1 = Unendlich eins = a 0^a 0 = c^c = IR

A 2 = Aleph 2 = Unendlich zwei = A 1^a 0 =c^c^c = T

A 3 = Aleph 3 = Unendlich drei = A 2^a 0 = c^c^c^c = K (fraglich!)

A 4  = ...

1.) 1 + 2 + 3 + n + n ...-ad inf.= a 0 = a 0 + a 0 = a 0 - a 0

2.) 2*2*2...ad inf. = 2^a 0 = a 0 = c = n > 1 * n > 1 * n > 1...ad inf.

3.) 1/0 = a 0 = n/0 = a 0/a 0 = a 0 * a 0 = c/c = c*c = die Wurzel aus c

4.) a 0 + a 0 + a 0 ...ad inf. = A 1 = a 0/0 = c/0 = c^c = die Wurzel aus c^c,

5.) a 0 - (a 0 + a 0 + a 0... ad inf. ) = a 0 - A 1 = - a 0 = - c = die Wurzel aus - c

6.) A 1 + A 1 + A 1... ad inf. = A 2 =  A 1^ a 0 = A 1 ^c

7.) A 1 - (A 1 + A 1 + A 1...ad inf.) =  A 1 - A 2 =  - A 1 = - c^c

8.) ...

9.)...

10.) 1/a 0 = 1/-a 0 = -1/a 0 = -1/-a 0 = 0

11.) a 0/ A 4 = A 1/ A4 =  A 2/ A4 = - A 2

12.) A 3/ A 4 = 0 = A 2/ A 3

Daraus folgt u. a.:

wurzel 2 * a 0 =  A 1 und pi * a 0 = A2 = e * a 0

Fortsetzung folgt, falls erwünscht

Und tschüss sagt

Harrybo

Comments

Worin unterscheidet sich c = Kardinalzahl d. Kontinuums von: c = Basis-Kardinalzahl d. Kontinuums?

Mögliche Antwort :

c als Basis-Kardinalzahl d. Kontinuums zu bezeichnen, wäre, mit Verlaub, logischer und widerspruchsfreier im Sinne der transfiniten Arithmetik, weil hier c nicht etwas anderes als das erste Aleph darstellt ( c = aleph 0), welches als Grundelement in die geordnete Menge der unendlichen Kardinalzahlen reibungslos eingegliedert werden kann.

Cantors c hat da ein Problem: Nicht etwa, weil Cantor sein 2 ^aleph 0 = Aleph 1 = c (Kardinalzahl d. Kontinuums) nie beweisen konnte, sondern weil das geordnete System tau der unendlichen Kardinalzahlen...a 0 < A 1 < A 2 < A 3 < A 4 ... schon bei Aleph 1 enden würde. Es gäbe somit kein größeres bzw. mächtigeres Aleph als Aleph 1.  Wenn c  tatsächlich die Kardinalzahl d. Kontinuums wäre, hätte Cantor dieses c = Aleph n > 1 oder  vorsorglicher c = Aleph unendlich bezeichnen müssen.

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Wenn Cantors 2^aleph 0 = Aleph 1 = c (Kardinalzahl des Kontinuums ) stimmt, dann gibt es keine weiteren Alephs mehr. Bei Aleph 1 wäre Feierabend. Auch gut!

meint Harrybo

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Und wenn Cantors Gleichung falsch ist, dann gilt:

aleph 0 ^aleph 0 = Aleph 1 = aleph 0/0 = c^c

und

Aleph 1^aleph 0 = Aleph 2 = Aleph 1/0 = c^c^c

wobei c = Basis-Kardinalzahl des Kontinuums

meint Harrybo

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Papa Harrybo kann genauso wenig seine Gleichung beweisen wie Herr Prof. Dr.. G. Cantor seine K-Hypothese. Noch nicht!

"Wenn jemand etwas für die Wissenschaft tun kann, dann hat er auch die Pflicht es zu tun"

meint Harrybo

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Cantors c  passt nicht  in das geordnete System tau der unendlichen Kardinalzahlen hinein. Wenn die Kardinalzahl des Kontinuums  c =  Aleph 1 sein soll, dann stünde dieses c  an der 2. Stelle . Schließlich wäre schon A2 mächtiger als c.

a 0  < A1 = c < A2 < A3 < A 4....

Logischer wäre:

a 0 < A 1 < A 2 < A 3 < A 4.......... < c

Hier steht das c, die Kardinalzahl d. Kontinuums ,an letzter Stelle und die Basis-Kardinalzahl  an erster Stelle, da  c = a 0!

Cantors c kann nur dann gleich die Kardinalzahl des Kontinuums sein, wenn es lediglich die Mächtigkeit aleph 0   und Aleph 1  gäbe.  Damit wäre aber immer noch nicht 2^ aleph 0 = Aleph 1 bewiesen.

meint  Harrybo

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Wenn c ungleich A 1

Dann :

a 0 = c  < A 1 < A 2 < A 3 < A 4 ...... < C

c = Basis-Kardinalzahl d. Kontinuums

C = Kardinalzahl d. Kontinuums

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Gödel  und der Mathematiker P. Cohen haben nachgewiesen, dass die K-Hypothese innerhalb der gegenwärtigen Mengenlehre nicht  bewiesen werden kann, ob sie wahr oder falsch ist.

Folglich wären  neue Axiome  erforderlich, die auch (oder gerade) innerhalb der transfiniten Arithmetik gelten.

Angefangen mit dem Unendlichkeitsaxiom (Vorschlag)::

1. Wenn 1/0 bzw. n/0 = unendlich, dann gibt es auch eine Menge, die Null und den Nachfolger jedes ihrer     Elemente  enthält.

Harrybo