Was bedeutet diese Definition? dist(A,B) := inf{||a-b||: a∈A,b∈B}

Question

Hi Habe die folgende Definition in Script und verstehe deren Aussage nicht ganz:

Es sei V ein R-Vektorraum mit einer Norm ∥ · ∥ und A und B seien Teilmengen von V . Dann heißt:
dist(A,B) := inf{||a-b||: a∈A,b∈B}
Abstand von A und B. Sind A = {a} und/oder B = {b} einelementig, so schreibt
man auch dist(a, B) oder dist(a, b) statt dist({a}, B), bzw. dist({a}, {b}).

 

Mein Problem ist zum einen, was inf{} meint und, dass eine Norm doch nicht immer zwingend einen Abstand definiert.
Wie zb. die | · |∞ Unendlichkeitsnorm,
die ja lediglich der Betrag der "betragsgrößten Komponente" des / eines Vektors ist.
Also versucht man mit einer Norm eine Art vergleichbare "Größe" zu schaffen.

Oder ist meine Verständnis des Norm-Begriffes da falsch.

Ist der Begriff der "Distanz" bzw. des "Abstandes" im weitesten Sinne eigentlich immer nur eine Differenz von 2 Größen?

Wäre toll wenn mir jemand die Definition erklären könnte.

Comments

Ich denke, dass nichts dagegen spricht mit einer Norm den Begriff Abstand zu definieren, speziell, wenn beim Berechnen der Norm eine nichtnegative reelle Zahl rauskommt. Betrachte mal: https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Mathematik)

 

Im Allgemeinen Fall: https://de.wikipedia.org/wiki/Norm_(Körpererweiterung)

ist das vielleicht Ansichtssache. Aber es kommen wohl auch hier handlichere Elemente raus, die man vielleicht sogar ordnen kann.

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Hi,



Kannst du mir erklären, was die Definition bedeuten soll?

Answer 1

Die Menge gibt dir alle Abstände zwischen jedem a in A und b in B und davon nimmst du das infimum. Somit den kleinsten Abstand zwischen zwei Mengen.

Ein kleines Bsp in 1-D (mit der 1-Norm):
A={1, 2, 3}       B={5,8,9}

inf {|a-b|,a in A , b in B}=inf {|1-5|,|1-8|,|1-9|,|2-5|,|2-8|,|2-9|,|3-5|,|3-8|,|3-9|}=inf {4,7,6,3,6,7,5,6}=3.

Comments

Ist nicht  |3 - 5| = 2 < 3 ?

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natürlich. Tut mir Leid hab ich wohl vergessen zwischendrin.