Komplexe Lösungsmengen bestimmen: Bsp. z*=|z|. z* ist "z konjugiert"

Question

Hallo

ich habe schwierigkeiten auf das richtige Ergebnsi bzw. grundsätzlich zu verstehen wie ich hier an die Materie herangehe.

gefragt sind diese bsp

1.)z*= i*z

2.) z*=|z|

3.) z* +3i= 2z+1

das sternchen bedeutet, dass wir von ein konjugierten komplexen zahl es zu tun haben demnach ändert sich überall das Vorzeichen. Betragstriche ändern auch das vorzeichen ?

Bitte um gute Erklärungen, VIELEN DANK an ALLE

Answer 1

Z ist komplexe Zahl der Art  z= x + iy. Wenn du komplexe Gleichungen hast, bildest du zwei Gleichungen. Eine, die nur den Realteil enthält (alles ohne i) und eine, die nur den Imaginärteil (alle Zahlen mit einem i) enthält. Dann hast du zwei Gleichungen mit denen du dann deine beiden Variablen x und y berechnen kannst

1) z* = i*z

x - iy = i (x + iy)

x - iy = ix -y

x + y -ix -iy = 0

Re: x + y = 0

Im: -x -y = 0 --> x = -y

z = x -ix

2)

Betrag ist der Abstand zu Null. Betrag bei kompl. Zahlen ist  |z| = √(x² + y²)

z* = |z|

x - iy = √(x² + y²)

(x - iy)² = x² + y²

x² - 2ixy -y² = x² + y²

-2ixy + -2y² = 0

Re: -2y² = 0 --> y = 0

Im: -2xy = 0 --> x ∈ ℝ

z = x , x∈ℝ

c)

z* +3i = 2z + 1

x - iy = 2(x +iy) +1

x - iy = 2x +2iy +1

-x -3iy = 1

Re: -x = 1 --> x= -1

Im: -3y = 0 --> y= 0

z = -1

Comments

angenommen ich zeichne nun diese bsp in eine skizze

z=  x -ix .....Realteil x=0 und ix= 1 i

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Du bist irgendwie komplett durcheinander.

z = x - ix

Re: x = 1

Im y = x

Bei x = 1 ist y auch gleich 1, das heisst, du hast eine Gerade in deiner Zahlenebene.

Das was bei i steht ist der Imaginärteil, den du auf die y-Achse anträgst. Das i fällt da weg. Es geht da nur um die Zahl, die bei i steht.

Answer 2

Schreib doch mal \( z=a+ib \) und dann bilde das konjugiert komplexe von z und setzte das in die Gleichungen ein. Bei (a) eergibt sich dann
$$ z^*=i^*\cdot z $$ also
$$ a-ib=-i(a+ib) $$ also
$$ a-ib=-ia+b $$
Jetzt Real-und Imaginärteil vergleichen und Du kommst zur Lösung.

Comments

mein i ist jedoch nicht konjugiert!!!

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Naja, dann verwendest Du den * einmal als Multiplikator und einmal als konjugiert komplex Operator. Da musst Du schon etwas präziser formulieren.