Vollständige Induktion für Ungleichung 2n+1<n^2<2^n für n>=5

Question

Wir müssen eine "Vollständige Induktion" für eine Ungleichung machen.

2n+1 < n² < 2ⁿ   für alle n>=5

Ich habs auch schon versucht, kanns bisher aber nur in Einzelteilen beweisen, sobald es in die 3 Teile geht verhaue ich mich dauernd :(

Answer 1

$$ 2n+1 < n^2 < 2^n  $$erstmal zerlegen:$$$$
I:$$ 2n+1 < n^2   $$
II:$$ n^2 < 2^n  $$
I: Induktionsbeginn$$ 2\cdot 5+1 < 5^2   $$
$$ 2(n+1)+1 < (n+1)^2   $$
$$ 2n+3 < n^2+2n+1   $$
$$ +3 < n^2+1   $$
$$ +2 < n^2   $$
Relation gilt für alle n>1$$$$
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II:$$ 5^2 < 2^5  $$
$$ (n+1)^2 < 2^{(n+1)}  $$
$$ n^2+2n+1  < 2 \cdot 2^{n}  $$$$$$
hier ist arithmetisch nix mehr zu machen - Schnittpunkt mit Näherungsverfahren ermitteln. Dann auch noch die Stetigkeit, der beiden Seiten feststellen, um nachzuweisen, dass die sich nicht irgendwo kurz vor unendlich doch nochmal schneiden ...

Comments

Ein Näherungsverfahren ist übrigens auch erstmal die Funktionswerte für n= 1;2;3;4;5 durchzuprobieren - damit finden sich schon interessante Erkenntnisse.

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Okay, dann lag ich nicht so falsch, auch ich hab das in 2 Teile "zerlegt" um es zu Beweisen. :)
Ich denke dann war es richtig.
Dank dir vielmals.

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$$ n^2+2n+1  < 2 \cdot 2^{n}  $$Ableitungen der beiden Seiten:$$$$
$$ 2n+2 <\ln2\cdot 2^{(n+1)}  $$
Da sehen wir schon, dass die Ableitung der linken Seite eine Geradengleichung ist und rechts liegt eine Exponentialfunktion vor - da ist zu erwarten, dass die ab einem bestimmten Wert n immer grösser sein wird, als die Geradengleichung. Dieser Wert lässt sich auch leicht durch Testen eingrenzen.
Zum Spass kann man ja noch die 2.Ableitung machen - nicht dass sich die Kurve später überlegt nochmal nen Schlenker zu machen ...
$$ 2  <  (\ln2)^2 \cdot 2^{(n+1) }$$

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Zum Abschluss noch eine kleine Spielerei:

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Kann man für n² < 2ⁿ  für n >= 5 nicht so argumentieren:

Induktionsanfang:   n=5
5² < 2⁵      =>  25 < 32

Induktionsschritt:  (mit 2 erweitert)
2*n² < 2*2ⁿ
n² + n ² < 2ⁿ⁺¹
(n+n)² < 2ⁿ⁺¹

Damit sieht man doch, dass die Werte von links immer "klein" bleiben, während die Werte von 2ⁿ rasant steigen?!

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 sieht man doch

ist kein mathematischer Beweis !

n² + n ² < 2ⁿ⁺¹
(n+n)² < 2ⁿ⁺¹ 

und das da geht schon mal gaaanich:

$$ n^2+n^2 \ne (n+n)^2 $$

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Vielleicht so:$$2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdot n^2=n^2+n^2=n^2+n\cdot n>n^2+3\cdot n=n^2+2\cdot n+n\\\quad\quad>n^2+2\cdot n+1=(n+1)^2.$$