Induktionsschritt Beweis von Ungleichung mit Wurzel. n>sqrt(n)

Question

*Hallo*

Ich will zeigen das n>sqrt(n)

Im Induktionsschluss habe ich nun:

n+1 > (nach IV) sqrt(n) + 1

Doch wie argumentiere ich jetzt, dass

sqrt(n) +1 > sqrt(n+1)???

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Vom Duplikat:

Titel: Wie beweißt man n>sqrt(n)?

Stichworte: beweis

*Hallo*

Wie beweißt man das n>sqrt(n) für alle n>=2 ist? n ist eine natürliche Zahl.

gg

Answer 1

Induktionsvoraussetzung ist, dass für ein beliebiges, aber festes n≥2 $$ n\geq \sqrt{n} $$ gilt.

Dann gilt dies auch für n+1, also

$$ n+1\geq \sqrt{n+1} $$

Dies zeigt man so:

$$ n+1\stackrel{(IV)}{\geq} \sqrt{n}+1\stackrel{n\geq 2}{\geq} \sqrt{n+1} $$ Fertig.

Comments

Geil! Aber wieso >= ? Für n>=2 kann der Fall = gar nicht mehr auftreten oder?

Mir ist leider noch nicht klar wieso

sqrt(n)+1 >= sqrt(n+1) ist. Muss man das begründen?

---

Naja, ich nutze die Voraussetzung aus, dass n≥2. Und da ist es schon offensichtlich, dass der letzte Schritt geht, denn es gilt sicherlich $$ 2,41\approx \sqrt{2}+1\geq  \sqrt{2+1}\approx 1,73 $$

Answer 2

du kannst es mit vollständiger Induktion machen.

Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, kannst du sogar noch strenger argumentieren, indem du einen kurzen Widerspruchsbeweis machst, da somit die Aussage von dir auch gleich für alle natürlichen Zahlen n≥2 gilt.

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*Danke*

Ich will zeigen das n>sqrt(n)

Im Induktionsschluss habe ich nun:

n+1 > (nach IV) sqrt(n) + 1

Doch wie argumentiere ich jetzt, dass sqrt(n) +1 > sqrt(n+1)???

Danke für die Hilfe -> Frage auch hier:https://www.mathelounge.de/570195/induktionsschritt-beweis-induktion

Answer 3

Das geht auch ohne Induktion.
Für alle n>1 ist n=√n·√n>√n·√1=√n.

Answer 4

da n und sqrt(n) beide positiv sind, ist die Ungleichung äquivalent zu

n^2>n,

n>1

was offensichtlich erfüllt ist.