Untere Schranken einer Menge bestimmen

Question

Mir liegt eine Aufgabe vor, bei der ich alle unteren Schranken einer Menge bestimmen soll. Ich dachte bisher, dass es nur eine einzige untere und eine einzige obere Schranke gibt. In einer weiteren Teilaufgabe soll ich das Infimum dieser Menge bestimmen. Ist das nicht das gleiche, wie die untere Schranke?

Die Menge lautet: M:=((n-(1/(n+1))) | n∈N, n≥1)

Answer 1

Hi,

Für n ≥ ist das monoton steigend (Kann man bei Bedarf noch beweisen). Folglich ist eine untere Schranke bspw. für n = 1 --> 1/2.

Aber auch -1 oder 0 oder  -10000 wären untere Schranken. obiges unterschreitet nie diese Schranke! Infinum ist nun aber eine besondere Schranke. Nämlich die "größte untere Schranke". Diese ist ausschließlich als s = 1/2 anzugeben.

Grüße

Comments

erst mal danke! Was passiert, wenn ich eine Zahl größer 1 einsetze? Habe ich dann eine obere Schranke? Oder hat das damit nichts zu tun?

Wie müsste ich das denn mit den unteren Schranken in der Lösung angeben? Das wären dann doch unendlich viele, wenn man beliebig kleine Zahlen einsetzt, oder?

Rein aus Interesse: Wie kann ich hier monoton steigend beweisen?

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Was passiert, wenn ich eine Zahl größer 1 einsetze? Habe ich dann eine obere Schranke? Oder hat das damit nichts zu tun?

Wenn Du beispielsweise S = 1 setzt, dann kann der Wert überschritten werden. Folglich ist das keine obere Schranke. Wenn Du Dir die obige Folge genau anschaust, dann divergiert diese. Es gibt also gar keine obere Schranke ;). Die Folge ist nur nach unten beschränkt.

Wie müsste ich das denn mit den unteren Schranken in der Lösung angeben? Das wären dann doch unendlich viele, wenn man beliebig kleine Zahlen einsetzt, oder?

Ich kenne nicht den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung, aber meist wird nur nach einer Schranke gefragt. Ansonsten sag einfach s = r, mit r ≤ 1/2 ;).

Rein aus Interesse: Wie kann ich hier monoton steigend beweisen?

Mehrere Möglichkeiten, aber bspw. durch a_n+1 ≥ a_n, wenn a_n die obige Folge beschreibt ;).

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Danke für die ausführliche Antwort. Damit hast du mir sehr geholfen!

In der Aufgabenstellung steht wirklich, dass man alle unteren Schranken angeben soll. Also werde ich es so aufschreiben, wie du mir vorgeschlagen hast.

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Freut mich, wenn ich weitergeholfen habe ;).