Aus Funktion zwei umkehrbare Teilfunktionen abspalten

Question

Der Aufgabentext lautet:

"Spalten Sie die nachstehenden Funktionen in zwei umkehrbare Teilfunktionen auf und bestimmen Sie die zugehörigen Umkehrfunktionen mit Definitionsbereichen und Wertebereichen."

Die Funktion ist:

f: R → R, f(x) = (1/2)x² - x - 1/2

Mein Ansatz beinhaltet die beiden Funktionen:

f₁: ]-unendlich, 0] → [0, unendlich[, f₁(x) = (1/2)x² - x - 1/2 

f₂: [0, unendlich] → [0, unendlich[, f₂(x) = (1/2)x² - x - 1/2

Die Musterlösung sagt:

f₁: ]-unendlich, 1] → [-1, unendlich[, f₁(x) = (1/2)x² - x - 1/2 

f₂: [1, unendlich] → [-1, unendlich[, f₂(x) = (1/2)x² - x - 1/2

Wo liegt bitte mein Überlegungsfehler und wieso kann ich als Grenze nicht 0 nehmen? 

Comments

Die Funktion ist symmetrisch zu x = 1.
Dort muß geteilt werden.
Der Graph zeigt dir das sofort.

Answer 1

Skizziere die mal die Funktion

y = (1/2)x² - x - 1/2

Die Aufteilung muss an der x-Koordinate des Scheitelpunktes stattfinden. 

Warum ist das denn so ? Kannst du das begründen?

Comments

Die Funkton muss dort geteilt werden, weil ich nur an dieser Stelle zwei umkehrbare Teilfunktionen erhalte.

Answer 2

Spalten Sie die nachstehenden Funktionen in zwei umkehrbare
Teilfunktionen auf und bestimmen Sie die zugehörigen
Umkehrfunktionen mit Definitionsbereichen und Wertebereichen."

Die Funktion ist:
f ( x ) = (1/2) * x² - x - 1/2
y = (1/2) * x² - x - 1/2
( ich habe direkt die Umkehrfunktion(en) gebildet.
Sonst wie beim Mathecoach beschrieben vogehen )

x = (1/2) * y² - y - 1/2
y = ± √ ( 2 * x + 2 ) + 1

Aufgeteilt in
y = + √ ( 2 * x + 2 ) + 1
Def-Bereich : 2 * x + 2 ≥ 0
2 * x  ≥ -2
x ≥ - 1
Wertebereich [ 1 ; ∞ [

und
y = - √ ( 2 * x + 2 ) + 1
Derselbe Def-Bereich
x ≥ - 1
Wertebereich ] -∞ ; 1 ]

Comments

Besten Dank, es ist jetzt klar. Es gibt nur mit dieser Teilung zwei umkehrbare Funktionen. (: