Ebenenschar aufstellen

Question

Die Menge aller Ebenen, die den Punkt A enthalten und zur Ebene E senkrecht verlaufen, bilden eine Schar. Beschreiben Sie diese Ebenenschar durch eine Gleichung.

E: 8x - y - 4z = -12 

A ( 8 / 0 / -1 ) 

Meine Frage: Wie kommen ich auf den Normalenvektor der neuen Ebenenschar?

Answer 1

Der Normalenvektor von E lautet (8,-1,-4)^T

Die Normalenvektoren n = (a,b,c) der gesuchten Schar stehen senkrecht darauf, also muß das Skalarprodukt zwischen ihnen Null ergeben. Das liefert die Gleichung:

I) 8a - b - 4c = 0

Desweiteren soll der Punkt A(8/0/-1) auf den Ebenen liegen. Das ergibt die Bedingung:

II) (a,b,c) (x,y,z) = ax + by + cz = 8a - c

Auflösen von I) nach einer Variablen (z.B. b) und einsetzen in II) ergibt:

ax + 8ay - 4cy + cz = 8a -c

Oder umgeformt

$$\begin{pmatrix} a\\8a-4c\\c \end{pmatrix}\vec{x} = 8a - c$$

als die gesuchte Ebenenschar mit den Parametern a und c.