Verschiedene Aufgaben zu Grenzwerten - Vorbereitung für Klausur: Definitionslücken bestimmen, Funktionen untersuchen

Question

Aufgabe 2:

Bestimme jeweils die Definitionslücken und untersuche die Funktionen an der Umgebung dieser Stellen! Stelle die Funktion grafisch dar.

a) \( f(x)=\frac{1}{(x-1)^{2}} \)

b) \( f(x)=\frac{2 x}{|x|} \)

c) \( f(x)=\frac{x^{2}-9}{x+3} \)

d) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+2 ; & x<-1,5 \\ 2 ; & x>-1,5\end{array}\right. \)

e) \( f(x)=\frac{x^{2}-1,44}{x+1,2} \)

f) \( f(x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x-1} \)

Aufgabe 3:

Vergleiche die Funktionen \( f_{1}(x)=x^{2}-1 \) und \( f_{2}(x)=\frac{x^{3}-x}{x} \).

Aufgabe 4:

Untersuche die Funktion \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x+2} ; & x \geq 1 \\ -0,5 x^{2}+2 & ; x<1\end{array}\right. \) an der Stelle \( x_{0}=1 \).

Aufgabe 5:

Ermittle die folgenden Grenzwerte.

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+2 x+3\right)=\quad \) b) \( \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-8 x}{x^{2}+4 x}=\quad \) c) \( \quad \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2,25}{x-1}= \)

Answer 1

Zu Aufgabe 2:

Die Definitionslücken bestimmen. Definitionslücken sind die Zahlen bei denen z.B. der Nenner 0 wird.

a) Definitionslücke bei x = 1

Wenn dabei der Zähler ungleich 0 ist haben wir eine Polstelle ansonsten eine Lücke. Skizzieren können wir die Graphen über eine kleine Wertetabelle.

b) x = 0 ist Definitionlücke mit Sprungstelle

c) x = -3 ist eine stetig ergänzbare Lücke

d) x = 1.5 ist eine Lücke mit Sprungstelle

e) x = -1.2 ist eine setig ergänzbare Lücke

f) x = 1 ist eine stetig ergänzbare Lücke

Comments

woran erkenn ich das es sich um eine sprungstelle handelt das kann ich nicht

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Benutze mal einen Funktionsplotter und lass dir die Funktionen zeichnen oder zeichne sie selber mit einer Wertetabelle. Ich denke dann geht dir ein Licht auf.

Answer 2

5)

$$a) \lim _{ x\rightarrow 2 }{ ({ x }^{ 2 }+2x+3)=11 } $$

$$b)\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { { (0+\varepsilon ) }^{ 2 }-8(0+\varepsilon ) }{ { (0+\varepsilon ) }^{ 2 }+4(0+\varepsilon ) }  } =\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { { \varepsilon  }^{ 2 }-8\varepsilon  }{ { \varepsilon  }^{ 2 }+4\varepsilon  }  } =\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { \varepsilon -8 }{ \varepsilon +4 }  } = \frac { { 0 }-8 }{ 0+4 }=-2$$

$$c)\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { x }^{ 2 }-2,25 }{ x-1 }  } =\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { { (1+\varepsilon ) }^{ 2 }-2,25 }{ (1+\varepsilon )-1 }  } =\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { { 2\varepsilon +\varepsilon  }^{ 2 }-1,25 }{ \varepsilon  }  } \\ =\lim _{ \varepsilon \rightarrow 0 }{ \frac { -1,25 }{ \varepsilon  }  } =\pm \infty   $$

ε<0 : +∞

ε>0 : -∞

Comments

c.)
lim x -> 1- = ∞
lim x -> 1+ = -∞
habe ich auch heraus.

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x=1 ist eine ungerade Polstelle, in ihrer Nähe ist der Zähler negativ, also gibt es an der Stelle x=1 einen Übergang von +∞ nach −∞. Das lässt sich ganz ohne Rechnung feststellen.

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Ja man kann das auch einfach hinschreiben. Das hilft dem Fragesteller, wenn er das Prinzip nicht verstanden hat, aber bestimmt unheimlich weiter. Und bevor du demnächst einfach mal falsch hinschreibst, vielleicht mal genauer nachdenken;)

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Das lässt sich ganz ohne Rechnung feststellen.
- wenn man das Basiswissen hat.

Ansonsten stimme ich mit dir überein das die Rechengänge zu
kompliziert sind. Es geht einfacher.

@tiktok2
Deine Antworten sind ok. Ich kann die etwas weniger arbeitsaufwendigen
Lösungen gern einmal vorführen.

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Zitat: Und bevor du demnächst einfach mal falsch hinschreibst, vielleicht mal genauer nachdenken;)

@tiktok2: Ok, das ist sicher eine gute Idee! :-)

Was ist eigentlich der Zweck Deiner Transformationen in den Grenzwertbestimmungen?

Meine Betrachtungen zum Charakter der Polstelle passen eigentlich ganz gut zu den im Übungsblatt angesprochenen Themen und sind daher nicht unbedingt abwegig. Ob der Fragesteller damit nun unmittelbar etwas anfangen kann oder stattdessen etwas Neues dazu erfährt, weiß ich natürlich nicht.

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@Georg

Man kann auch eine Polynomdivision durchführen und ist dann schneller fertig. Finde aber zum Verständnis was passiert, die Form mit Epsilon-Umgebung anschaulicher.

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Ich finde es gar nicht mal so verkehrt die verschiedenen Lösungswege
aufzuzeigen.
b.)
lim x -> 0  [ ( x^2 - 8x ) / ( x^2 + 4x ) ]
typischer Fall von 0 / 0 und für mich damit l´Hospital
( x^2 - 8x ) ´ / ( x^2 + 4x ) ´
( 2x - 8 ) / ( 2x + 4 )
lim x -> 0  [ ( 2x - 8 ) / ( 2x + 4 ) ]
-8 / 4 = -2

So ganz prinzipiell : ich finde bei der Aufgabenstellung sollte
es immer heißen : den links- und rechtsseitigen Grenzwert
bestimmen. Diese können bekanntlich verschieden sein.

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was wäre den bei b) eine einfachere rechenweise ?

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nach l´Hospital wie ich oben ausgeführt
habe. Hier die kurze aber korrekte Schreibweise.

das 3. lim x -> 0 ist sogar überflüssig, da kein x mehr
vorhanden.

mfg Georg

Answer 3

zu 4.)

Untersuchung auf Stetigkeit:

x < 1 : √ ( x + 2 ) = √ 3
x ≥ 1 : 0.5 * x^2 + 2 = 2.5

Die Funktion macht an der Stelle 1 einen
Sprung. Sie ist nicht stetig.

Comments

Danke :D ich hab noch eine frage bei 3. Weiß ich dass die Funktionen gleich sind aber wie drück ich das genau aus ?

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Die Funktionen sind nicht gleich. f2 hat bei x=0 eine Definitionslücke, f1 hat das nicht.

Schließe x=0 aus dem Definitionsbereich bei f2 aus, dann kannst du im Nenner und Zähler x ausklammern und kürzen. Dann sind beide Terme gleich, mit dem Unterschied, das f2 bei x=0 nicht definiert ist.

f2 ( x ) = ( x^3 - x ) / x
D = ℝ \ { 0 }

f1 ( x ) = x^2 - 1
D = ℝ

f1 = { f2   für x ≠ 0
        { -1  für x = 0