Was bedeutet f^-1 (f (]-4,-3]))

Question

Gegeben ist die Formel f (x) = √x²-9

Nun heißt die Aufgabe:

Bestimmen Sie f ^-1(f (]-4,-3]))

Ist hier jetzt das Urbild im Intervall ]-4,-3] gesucht oder die inverse Funktion von f?

Comments

Gemeint ist die Umkehrfunktion im genannten Intervall. f(x) hat einen eingeschränkten Definitionsbereich.

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Steht die 9 auch noch unter der Wurzel?

Wenn ja: Schreib besser mit Klammern:  f (x) = √(x²-9)

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das hat doch auf die Lösung der Aufgabe überhaupt keinen Einfluss

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Bestimmen Sie f ^-1(f (]-4,-3]))

Hier sollte ein Intervall rauskommen. Im Idealfall ]-4,-3]. Kommt aber auf deine Definition von f^{-1} an.

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im Idealfall kommt kein Intervall heraus

Answer 1

$$ f^{-1}(f(x))=\pm \sqrt{\pm|x^2-9|+9} $$

oder?

Comments

Und wie kommt man darauf?

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$$ f(x)=\sqrt{x^2-9} $$
für die Umkehrfunktion nehme ich mal zur Verwechslung von Vermeidungen andere Buchstaben:
$$ u=\sqrt{v^2-9} $$
$$ u^2=v^2-9 $$
$$ v^2=u^2-9 $$
$$ v=\pm \sqrt{u^2-9} $$
In das Argument der Umkehrfunktion soll nun wieder die Ursprungsfunktion eingesetzt werden:
$$ v=\pm \sqrt{\left(\sqrt{x^2-9}\right)^2-9} $$
$$ v=\pm \sqrt{|x^2-9|-9} $$