Bestimme alle Vektoren, die orthogonal zu Vektor a=(5,-12) sind und die Länge 5 haben

Question

ich habe eine Aufgabe bekommen, bei der ich alle Vektoren bestimmen soll die Orthogonal zu (5,-12) sind und die länge 5 haben.

Mein Ansatz war nun a*b=0

d.h. 5*a₁ -12xa₂ = 0

für a₁ hab ich dann einfach den Wert 12 und für a₂ den Wert 5 genommen was zu einer 0 Führt.

der Vektor a ist somit (12,5)

Danach hab ich den Vektor normiert  was zu dem Vektor (a₁/√169, a₂/√169) um dann die länge 5 zu kriegen hab ich nach den Vektor a mit 5 Multipliziert. Also im Ergebnis 5*(12/√169, 5/√169)

Nun bin ich mir aber nicht sicher ob das nun alle Vektoren sind. Außerdem müssen alle unsere Aufgaben ohne Taschenrechner gelöst werden (Studium) das Ergebnis ist jedoch ohne Taschenrechner zumindest sehr umständlich zu rechnen.

Deshalb die Fragen:

1: ist dies so korrekt und sind das bereits alle Vektoren? Theoretisch müsste es da ja unendlich viele geben, rund um den Vektor oder nicht?

2: Gibt es noch eine einfachere, ggf. simplere Möglichkeit diese Aufgabe zu lösen?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe

Answer 1

deine Vorgehensweise ist soweit in Ordnung. Den Vektor den du raushast ist auch richtig (besitzt die Länge 5)

1. Rechnung aufwendig

-> √169 = 13, also doch gar nicht so schwierig oder?

2. Unendlich viele Vektoren? Nur wenn du im dreidimensionalen Raum wärst, da du aber hier in der

Ebene arbeitest kann es nur 2 Vektoren geben die orthogonal zu deinem Vektor sind (nur zum Nullvektor stehen alle Vektoren orthogonal, nach deiner Definition jedenfalls).

Tipp: Den 2 Vektor kriegst du wenn du in die entgegen gesetzte Richtung deines berechneten Vektors gehst.

Allgemeine Vorgehensweise?

Du nimmst dir keine beliebigen Werte, sondern wählst eine deiner Koordinaten als Parameter, dann kannst du den orthogonalen Vektor als Gerade darstellen und kriegst für eine gewählte Länge 2 Lösungen.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

vielen dank für die Schnelle Antwort. Das der gegen Vektor die 2. Lösung ist, ist mir auch gekommen, habs nur vergessen hinzuschreiben.

Kannst du mir die von dir beschrieben Allgemeine Vorgehensweise mit einem Beispiel deutlich machen, ich versteh leider nicht wie du das meinst.

Vielen dank schon mal.

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Du hast ja versucht den Vektor über das Skalarprodukt zu finden

wähle zum Beispiel a2 = t, dann ist gilt

5*a1 - 12*t = 0 => a1 = 12/5 * t

also kannst du alle Vektoren die auf (5/-12) orthogonal stehen schreiben als

$$ \vec{a} = t* \begin{pmatrix} \frac{12}{5} \\ 1 \end{pmatrix} $$

Du willst nur die Vektoren, die die Länge 5 besitzen ->

$$ |\vec{a}| = 5 \Leftrightarrow \sqrt{ \left( \frac{12}{5} t \right)^2 + t^2 } = 5 $$

quadrier die beiden Seiten der letzten Gleichung und löse nach t auf und du kriegst 2 Lösungen.