Produkt- und Kettenregel: 1. Ableitung von f(x)= x^3 * √x

Question

Aufgabe:

Bilde jeweils die erste Ableitung:

a) \( f(x)=x^{3} \sqrt{x} \)

b) \( f(x)=\left(2-x^{2}\right) \sqrt{x} \)

c) \( f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x} \)

d) \( f(x)=x e^{x} \)

e) \( f(x)=x^{2} e^{x} \)

Comments

a)
u = x^3,v = √x=x^{1/2}

u' = 3x^2,v' = (1/2)x^{-1/2}


b)
u = 2-x^2 -->u' = -2x
v = √x → v' = s.o.

c)
u = √x , --->u' = s.o
v = x --->v' = 1

d)

u' =1, v' =e^x

e)
u' = 2x, v' = s.o.

---

Hi,

ich zeig dir mal das bei de d). Bei den anderen vesuchst du es mal bitte selber.

Bei der a) kannst Du √x umschreiben zu x^1/2 und bei der b) genauso.

f(x)= x*e^x

Produktregel:

f'(x)= u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)

Wähle:

u(x)= x und daraus folgt u'(x)= 1

v(x)= e^x und daraus folgt v'(x)= e^x

1*e^x+e^x*x

e^x+x*e^x

Ausklammern: e^x(1+x)

---

Tipp die Aufgaben bei Wolframalpha ein und vergleiche sie mit deiner Lösung

https://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x%5E3%C2%B7%E2%88%9Ax

Answer 1

Hi,

a)

$$ \sqrt { x }= { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } $$
$$ f'(x)= u'(x)v(x)+v'(x)u(x) $$
$$ f'(x)= 3x^2 \cdot { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }+\frac { 1 }{ 2 }{ x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot x^3 $$

d)

$$ f(x)= xe^x $$
$$ f'(x)= u'(x)v(x)+v'(x)u(x) $$
$$ 1\cdot e^x+e^x\cdot x $$
$$ f'(x)= e^x(1+x) $$

Schreibe dir erstmal die Produktregel auf:

$$ f'(x)= u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x) $$

Dann wählst Du dein u(x) und dein v(x). Anschließend leitest Du beide ab und setzt sie in die Formel ein. Am Ende schaust Du noch, ob du es eventuell vereinfachen kannst.
Noch die e)

$$ f(x)= x^2e^x $$
$$ f'(x)= u'(x)v(x)+v'(x)u(x) $$
$$ f'(x)= 2x\cdot e^x+e^x\cdot x^2 $$
$$ f'(x)= e^x(2x+x^2) $$



Versuch mal b) und c) alleine. Du kannst noch die a) vereinfachen...