Bestimmen der Ableitung von f durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel

Question

bitte um Anregungen/Lösungen:

f(x) = √x_*√x         (gesprochen Wurzel aus x mal der Wurzel aus x ( also die erste Wurzel bezieht sich auf den ganzen Term))

meine Idee:

f(x)=(x*(√x))^1/2    v    (x*(x^1/2)^1/2 

in welcher Reihenfolge vorgehen soll, weiß ich nicht.

Genauso bei :

f(x) = (x³-1)⁴ (√x + x)² 

Luis

Answer 1

$$ f(x) = \sqrt{x \cdot \sqrt x }  $$
$$ f(x) = \sqrt{ x }  \cdot \sqrt{ \sqrt x }   $$
$$ f(x) = x^{\frac12}  \cdot x^{\frac14}  $$

Answer 2

f(x) = √x·√x

eigentlich würde man hier die Funktion zunächst vereinfachen

f(x) = x

Und jetzt Ableiten

f'(x) = 1

Aber nun mal mit Produktregel

f(x) = √x·√x = x^{1/2}·x^{1/2}

f'(x) = 1/2·x^{-1/2}·x^{1/2} + x^{1/2}·1/2·x^{-1/2} = 1/2 + 1/2 = 1

Comments

f(x) = (x^3 - 1)^4·(√x + x)^2

f'(x) = 4·(x^3 - 1)^3·(3·x^2)·(√x + x)^2 + (x^3 - 1)^4·2·(√x + x)·(1/(2·√x) + 1)

f'(x) = 12·x^2·(x^3 - 1)^3·(√x + x)^2 + 2·(x^3 - 1)^4·(√x + x)·(1/(2·√x) + 1)

f'(x) = (x^3 - 1)^3·(√x + x)·(12·x^2·(√x + x) + 2·(x^3 - 1)·(1/(2·√x) + 1))

f'(x) = (x^3 - 1)^3·(√x + x)·(12·x^3 + 12·x^{5/2} + 2·x^3 + x^{5/2} - 1/√x - 2)

f'(x) = (x^3 - 1)^3·(√x + x)·(14·x^3 + 13·x^{5/2} - 1/√x - 2)

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"also die erste Wurzel bezieht sich auf den ganzen Term"

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Dann sollte man mal richtig Klammern

f(x) = √(x·√x) = (x·x^{1/2})^{1/2} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}

Jetzt ableiten

f'(x) = 3/4·x^{- 1/4} = 3/(4·x^{1/4}) = 3/(4·⁴√x)