Lineare Algebra: Gleichung der Ebene in ℝ3 durch die Punkte

Question

Ich muss die Gleichung der Ebene in ℝ³ durch die Punkte:

A= (2,3,4)

B= (3,1,1)

C= (-5,2,5)

Diese Gleichung soll ich in der Form a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃=b angeben.

Mein Ansatz:

2x+3y-5z=b₁

.................. = b2

..................=b3

Diese drei Gleichungen mit Gauss lösen. Ist mein Ansatz richtig?

Comments

Weißt Du, wie man die Parameterdarstellung einer Ebene aufstellt (Stützvektor und zwei Richtungsvektoren)?

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Nein, kenne ich nicht...

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Ohne die Grundlagen der Vektorrechnung kann ich diese Aufgabe leider auch nicht lösen :-(

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Könnten sie es vielleicht mit additionaverfahren lösen? Laut Aufgabenstellung muss ich a1, a2 und a3 lösen.

Answer 1

ich sehe hier das Problem, dass wir 4 Unbekannte haben, aber nur 3 Gleichungen.
Deshalb rechne ich es mal mit Hilfe der Vektorrechnung durch:

A= (2,3,4)

B= (3,1,1)

C= (-5,2,5)

E: x = (2|3|4) + r * (B - A) + s * (C - A) =

(2|3|4) + r * (1|-2|-3) + s * (-7|-1|1)

Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt die linke Seite Deiner Gleichung:

-5x₁ + 20x₂ - 15x₃ =

Das kann man auch kürzen:

-x₁ + 4x₂ - 3x₃ =

Jetzt setzen wir einfach die Koordinaten von A ein, um die rechte Seite der Gleichung zu erhalten:

-1 * 2 + 4 * 3 - 3 * 4 = -2

Damit lautet die Gleichung der Ebene:

E: -x₁ + 4x₂ - 3x₃ = -2

Probe für A: -2 + 12 - 12 = -2

Probe für B: -3 + 4 -3 = -2

Probe für C: 5 + 8 - 15 = -2

Besten Gruß