Rekursive Folge berechnen. Bestimmen Sie a.

Question

Aufgabe:

Von der rekursiv definierten Folge

\( a_{0}=2, \quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{2}{a_{n}}\right) \)

ist bekannt, dass \( a_{n}>0 \) ist für alle \( n \in \mathbb{N} \) und dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \) für ein \( a>0 . \) Bestimmen Sie \( a \).

Hinweis: Verwenden Sie die Rechenregeln für Grenzwerte und die Tatsache, dass

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} \)

um eine Gleichung für \( a \) herzuleiten.

Answer 1

durch setzen von

$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = a = \lim\limits_{n \to \infty} a_{n+1} $$

musst du nur die Gleichung

$$ a = \frac{1}{2} \left( a + \frac{2}{a} \right) $$

Nach a lösen (vergiß nicht a > 0).

Gruß

Answer 2

a = 1/2·(a + 2/a)

2·a = a + 2/a

a = 2/a

a^2 = 2

a = √2

Answer 3

gib doch bitte zuerst mal auch noch an, ob du dir zu der Aufgabe selber schon etwas überlegt hast, und wenn ja, was !

Es wäre zum Beispiel leicht, einmal ein paar Glieder der Folge konkret zu berechnen und damit vielleicht selber zu einer Vermutung zu kommen, was der Grenzwert sein könnte. Auch wenn du den angegebenen guten Tipp verwendest, kannst du zu einer wichtigen Überlegung angeregt werden, die man dir nicht einfach so auf dem Silbertablett servieren sollte, ohne dass du selber etwas dazu tust !

Mathematik lernt man (nur) durch selber denken !