Projektion, Lotfußpunkt

Question

ich hänge an folgender Aufgabe. Dabei besteht das Problem schon darin, dass ich die Aufgabenstellung nicht verstehe. Was ist ein Lotfußpunkt ? Und was genau soll ich hier rechnen ?

In einem dreidimensionalen Raum sind zwei Vektoren u⃗ =⎡⎣-5,4,7⎦ und v⃗ =⎡⎣8,0,−2⎤⎦ gegeben. Wenn beide Vektoren in einem gemeinsamen Punkt starten, kann man mit Hilfe von geeigneten Vorgehensweisen ein Lot von der Spitze des Vektors u⃗  auf λ⋅v⃗  fällen. Bestimmen Sie den resultierenden Vektor a⃗ , der nun vom Lotfußpunkt auf λ⋅v⃗  zur Pfeilspitze von u⃗  zeigt. (λ∈R)

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

Answer 1

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen ?

Oder umgekehrt: Wenn zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen, dann ist ??? = ?

Comments

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Vektoren orthogonal zueinander stehen ?

Das Skalarprodukt muss 0 sein

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Irgendwo muss ich aber wohl noch einen Denkfehler haben. Ich soll das Ergebnis in Vektorschreibweise darstellen ([x1],[x2],[3]). Die x2 hab ich mit 4 richtig, die anderen trotz gleicher Rechnung offenbar nicht.

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Es wäre sicher hilfreich, wenn Du Deine Gedanken verschriftest und uns auf diesem Wege zugänglich machen könntest. Was hast Du bisher gemacht und wo bist Du steckengeblieben ?

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Ein Hinweis noch:

$$ \vec v= \left(\begin{matrix} 8\\0\\-2 \end{matrix}\right) $$
Alles was ortogonal auf diesem Vektor steht muss die Bedingung für das Skalarprodukt Null erfüllen - ich nenne den Vektor mal "r" wie rechtwinklig:
$$\vec r \cdot \vec v= 0  $$
$$\vec r \cdot \left(\begin{matrix} 8\\0\\-2 \end{matrix}\right)= 0 $$
$$\left(\begin{matrix} r_x\\r_y\\r_z \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 8\\0\\-2 \end{matrix}\right)= 0 $$
$$\left(\begin{matrix} r_x\\r_y\\r_z \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} 8\\0\\-2 \end{matrix}\right)= 8r_x + 0 r_y -2 r_z   $$
$$ 0= 8r_x + 0 r_y -2 r_z   $$
$$  4r_x = r_z   $$
Alle Punkte, die orthogonal auf dem Vektor v sitzen, müssen also nur die Bedingung erfüllen, dass die z- Komponente 4 mal so gross ist, wie die x- Komponente und y ist völlig wurscht.
Daraus kann man fast ein Ebenengleichung basteln. Dazu fehlt nur noch der Stützvektor - ach neee, das soll ja der gegebene Vektor u sein!
Wie lautet also nun die vollständige Ebenengleichung ?