Schnittpunkte berechnen. Zeigen Sie, dass sich die Graphen orthogonal schneiden.

Question

Betrachten Sie die Funktionen f und \( g \) mit \( f(x)=x^{2}-2 x \) und \( g(x)=-x^{2}+\frac{1}{2} x \),

a) Zeichnen Sie die Graphen von \( \mathrm{f} \) und \( \mathrm{g} \) in dasselbe Koordinatensystem, berechnen sie die Schnittpunkte \( S_{1} \) und \( S_{2} \). Zeigen Sie, dass sich die Graphen orthogonal schneiden.

b) Die Funktion \( \mathrm{h} \) ist gegeben durch \( h(x)=-2 x^{2}+\frac{1}{2} x \). Zeigen Sie, dass die Graphen von \( g \) und \( h \) mit dem Graphen von \( f \) einen gemeinsamen Schnittpunkt haben und den Graphen von f in diesem Schnittpunkt orthogonal schneiden.

Answer 1

Hier zunächst eine kleine Skizze

x^2 - 2·x = - x^2 + 1/2·x

2·x^2 - 2.5·x = 0

x·(2·x - 2.5) = 0

x = 0 oder x = 1.25

f(0) = 0

f(1.25) = -0.9375

a)

f'(0) = 2*0 - 2 = -2
g'(0) = -2x + 1/2 = 1/2

-2 * 1/2 = -1 → Senkrecht

f'(1.25) = 1/2
g'(1.25) = -2

b)

h(0) = 0 → Das ist offensichtlich ein gemeinsamer Schnittpunkt.

h'(0) = 1/2 → Auch h schneitet f in diesem Punkt senkrecht.