Brüche vereinfachen: [(x + y)^4 * (x - y)^3] / (x^2 - y^2)^2

Question

Brüche vereinfachen:

1.) \( \frac{(x+y)^{4}(x-y)^{3}}{\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}} \)

2.) \( \frac{1-9 x^{4}}{\sqrt{3 x^{2}+1}^{3}} \)

Answer 1

a)

$$\frac{(x+y)^4(x-y)^3}{(x^2-y^2)^2} = \frac{(x+y)^4(x-y)^3}{(x-y)^2(x+y)^2} = (x+y)^2(x-y)$$

Binomische Formel im Nenner erkennen.

b) Binomische Formel im Zähler erkennen:

$$\frac{1-9x^4}{\sqrt{3x^2+1}^3} = \frac{(1-3x^2)(1+3x^2)}{(1+3x^2)^{\frac32}} = \frac{1-3x^2}{(1+3x^2)^{\frac12}}$$

Grüße

Comments

Danke ,aber ich verstehe nicht wie du die Wurzel da vereinfacht hast ?

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Die Wurzel habe ich nur als Potenz umgeschrieben. Und dann steht da ja nicht mehr als \(\frac{a}{a^{\frac32}} = a^{1-\frac32} = a^{-\frac12} = \frac{1}{a^{\frac12}}\) ;).

Answer 2

[(x + y)⁴ * (x - y)³] / (x² - y²)² =
[(x + y) * (x + y) * (x + y) * (x + y) * (x - y ) * (x - y) * (x - y)] / [(x² - y²) * (x² - y)²] =
[(x² - y²) * (x² - y²) * (x + y) * (x + y) * (x - y)] / [(x² - y²) * (x² - y)²] =

(x + y) * (x + y) * (x - y) =

(x² - y²) * (x + y)

oder auch:

(x + y)² * (x - y)

Es wurde also die 3. Binomische Formel benutzt:

(a + b) * (a - b) = a² - b²

Besten Gruß