Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Bestimmen Sie auch die Ränge von A und (A|b)

Question

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus. Bestimmen Sie auch die Ränge von \( A \) und \( (A \mid \vec{b}) \). Achten Sie auf die Schreibweise der Lösungsmenge.

\( A \vec{x}=\vec{b} \) mit \( A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & -1 & -5 \\ 1 & -4 & 3 & -2\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) \)

Testen Sie ihre vollständige Lösung aus Aufgabe durch Einsetzen.

Answer 1

Gibts auch einen eigenen Ansatz?

Comments

Es geht ich konnte die Matrix nur etwas vereinfachen aber sonst kam da leider nicht viel zusammen.  Ich habe die untere Stelle mal -3 genommen und zu der ersten Zeile addiert dann hatte ich das hier stehen:
(0  13  -10  1 =1) (1  -4  3  -2 = 0) 
Damit habe ich nur die erste Stelle vereinfacht da steht jetzt eine Null.
Dann gab es im Unterricht einen Ausdruck wie: r < n ⇒ unendlich viele Lösungen                                                                                        n-r ⇒ 2 Unbekannte frei wählbar
Aber ich weiß ehrlich gesagt nicht was es genau bedeuten soll. Es wäre sehr nett wenn Sie mir helfen könnten :)
MfG

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Deine Matrix beschreibt ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten. D.h. der Rang der Matrix kann nicht höher als 2 sein. Damit ist klar, das es unendlich viele Lösungen gibt. Du hast die Zeilenstufenform fast richtig ermittelt. Allerdings sieht die zweite Zeile wie folgt aus

$$ 0,13,-10,11 $$

Daraus ergibt sich, das der Rang der Matrix \( A \) gleich 2 ist.

Du musst die Umformung auch mit der erweiterten Matrix machen, dann siehst Du, dass der Rang der erweiterten Matrix auch 2 ist.

Da Du vier Variable hast, aber der Rang = 2 ist, kann man zwei Variable beliebig wählen.

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Danke aber danach weiß ich leider nicht mehr wie ich fortfahren soll. Ich muss die Aufgabe bis morgen haben ich sitze jetzt schon länger dran und ich habe immer noch keine Idee nach diesen Schritten :(

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Wenn Du die zweite Zeile mit -3 multiplizierst und zur ersten Zeile addierst erhält man die folgende erweiterte Matrix

$$ A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 13 & -10 & 1 & 1  \end{matrix} \right) $$

Wenn die Unbekannten x, y, z und u sind, sieht man das man z.B. die Variablen z und u frei wählen kann. Für y folgt

$$  y=\frac{1+10z-u}{13} $$

$$  x=\frac{12+3z+66u}{39}  $$