Question

$$Wie gebe ich für die folgenden Abbildungen entweder die Umkehrabbildung oder zwei verschiedene Schnitte an?

a) f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x-1

b) f: ℝ^≤0 ℝ^≥0, f(x) = x²

c) f: ℝ² →  ℝ²,f(x,y) = (2y,x)

d) f: ℝ² → ℝ, f(x,y) = x+y

Könnt ihr mir da helfen?$$

Answer 1

a) f: ℝ → ℝ, f(x) = 3x-1

y = 3x-1 nach x auflösen

y+1 = 3x

(y+1)/3 = x        |x und y vertauschen

y = (x+1)/3

 f^{-1}: ℝ → ℝ, f^{-1}(x) = (x+1)/3

b) f: ℝ^≤0 ℝ^≥0, f(x) = x²

c) f: ℝ² →  ℝ²,f(x,y) = (2y,x)

d) f: ℝ² → ℝ, f(x,y) = x+y

Comments

Bei b) ist ja schon eine Aufteilung in 2 Aeste gegeben.

c) f: ℝ² →  ℝ²,f(x,y) = (2y,x)      

f^{-1}: ℝ² →  ℝ²,f^{-1} (x,y) = (y,0.5x)     

d) f: ℝ² → ℝ, f(x,y) = x+y

Nicht umkehrbar, ausser du legst z.B. ein x oder ein y von Anfang an fest.

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Du hast jetzt die Umkehrabbildung von a) angegeben aber wann muss ich die Umkehrabbildung und wann 2 verschiedene Schnitte angeben?

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Ich würde dann Schnitte angeben, wenn die Funktion nicht als Ganzes umkehrbar ist. Aber das sollte in der exakten Fragestellung genauer stehen.

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c) f: ℝ² →  ℝ²,f(x,y) = (2y,x)      

f^-1: ℝ² →  ℝ²,f^-1 (x,y) = (0.5y,x)     

bitte überprüfen

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hj214: Sieht man das Minus im Exponenten nicht?

EDIT:

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Ich glaube dass man für  d) Schnitte angeben muss, weil das nicht umkehrbar ist.

Wie meinst du das bei b), dass das auch schon die Umkehrabbildung ist?

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c) f: ℝ² →  ℝ²,f(x,y) = (2y,x)      

Abbildungsmatrix von f wäre

(0 2

 1 0 )

f^-1: ℝ² →  ℝ²,f^-1 (x,y) = (y,0.5x)     

Abbildungsmatrix

( 0   1

 0.5     0)

Kontrollieren kannst du das, indem du die beiden Matrizen miteinander multiplizierst.

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Wie meinst du das bei b), dass das auch schon die Umkehrabbildung ist?

Nein: Um eine Umkehrabbildung finden zu können, musst du R bei x=0 unterteilen. Das steht aber schon dort.

Für x≥0 hast du f^{-1}(x)  = √x

und für x≤ 0 hast du f^{-1}(x) = √(-x) 

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was hast du bei c ausgerechnet damit 0.5 rauskommt?

wenn ich das nach x auflöse und dann y und x vertausche kommt da y=x raus?

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Kennst du Matrizenrechnung? Bestimme erst die Abbildungsmatrix für f und invertiere sie. Vgl. mein Kommentar für hj214.

Ich habe aber einfach überlegt, was man da hinschreiben müsste, dass man vom Ergebnis wieder zurückkommt. Im Prinzip werden ja einfach x und y vertauscht. Ausserdem wird bei f in eine Richtung mit dem Faktor 2 gestreckt. Das macht man mit dem Faktor 0.5 wieder rückgängig.

Beachte: Ich habe inzwischen: f^-1: ℝ² →  ℝ²,f^-1 (x,y) = (y,0.5x)