Berechne die Seitenlänge x. Kantenlänge des Quadrats gegeben. (Satz von Vieta)

Question

Die Kantenlänge des großen Quadrats ist 6 cm. Die schwarze Fläche hat den Flächinhalt A = 20 m². Berechne die Seitenlänge x.

Mit Satz von Vieta berechnen.

Lösungen: 2 und 4.

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Wenn das große Quadrat die Kantenlänge 6 cm hat ist der Flächeninhalt 36 cm^2. Dann kann die schwarze Fläche doch nie die Fläche von 20 m^2 haben. Sinnvoll wären also hier nur 20 cm^2.

Wenn man man davon ausgeht, das gleiche Buchstaben für gleiche Seiten stehen muss die Fläche die mit x und x bezeichnet ist ein Quadrat sein. Dann würde gelten:

A = (6 - x)^2 = 20

Das kann man direkt nach x auflösen und es ergibt sich

x = 6 ± √20
x ~ 1.528 cm [Die andere Lösung mit x = 10.47 liegt nicht im Definitionsbereich]

Wenn die Fläche die mit den beiden x markiert ist kein Quadrat sein muss dann dürfte die andere Seite nicht mit x markiert sein.

Wenn die beiden allerdings unabhängig sind gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn die schwarze Fläche 20 cm^2 groß ist, dann kommt als ganzzahlige Seiten nur 4 cm und 5 cm in Frage damit müssten x und y damit 2 cm und 1 cm sein.

Wenn man annimmt die linke untere Fläche hat die Kanten von 2 cm und 4 cm. Dann sind die Kanten der schwarzen Fläche 4 cm und 2 cm und es ergibt sich eine Fläche von 8 cm^2.

Also irgendwo ist in der Aufgabe der Wurm drin oder ich ich bin zu blöd das zu kapieren.

Answer 1

Hallo

Danke für die Angabe, die war sehr hilfreich. Deine Zeichnung oben ist leider nicht ganz vollständig gewesen. Das kleine Quadrat hätte auch noch schwarz sein müssen.

Skizze des Quadrats, Seiten und Flächen.

 

Hm. Ich wollte das allgemein lösen, das ist hier keine so gute Idee.
Also zum Ansatz:
Es gilt ja: A=X+B; (s. Skizze); A=x²+b²;
d=b+x; die Strecke d kann auch als Summe aus x und b geschrieben werden.
Umformen: b=d-x; Das wird eingesetzt.
x²+(d-x)²-A = 0;
x²+d²-2dx+x²-A = 0;
2x²-2dx+d²-A = 0; d=6, A=20,
2x²-12x+36-20 = 0; |*1/2
x²-6x+8 = 0; [1]

Der Satz von Vieta besagt nun Folgendes:
x²+px+q = 0; [2] //allgemeine quadratische Gleichung
für p und q gilt:
-p=x1+x2; x1und x2 sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
q=x1*x2;
Der Vergleich von [1] und [2] ergibt dann:
p = -6; -> 6=x1+x2
q = 8; -> 8=x1*x2
Nun schaust Du genau hin und rätst quasi. In etwa so: 3+3 = 6, aber 3*3 = 9, kann es also nicht sein, 1+5=6 aber 1*5=5 ist es auch nicht, 2+4 = 6, 2*4=8 ist richtig ist also die Lösung.

Ich hoffe das hilft Dir weiter.
Die Aufgabe ist an sich nicht schwer, wenn man sofort den richtigen Ansatz wählt. Ansonsten kann es schon mal länger dauern.

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Die Lösung vom Lehrer:

Aufgabe 4 Lösung: Alle Längen in cm: x^2+(6-x)^2 = 20 ⇔ x^2+x^2-12x+36 = 20

2x^2-12x+16=0 ⇔ x^2 -6x+8=0

Vieta: x₁=2, x₂=4

Answer 2

x² + (6 - x)² = 20
x² + (36 - 12x + x²) = 20
x² + 36 - 12x + x² - 20 = 0
2x² - 12x + 16 = 0
x² - 6x + 8 = 0

Wenn wir das mit dam Satz von Vieta lösen machen wie eine Faktorzerlegung:

(x - p)(x - q) = x² - px - qx + pq = 0
pq = 8
-p -q = -6

Man sieht das man für p = 2 und q = 4 wählen kann, damit die Gleichung erfüllt ist. Ich würde aber generell auch hier die pq-Lösungsformel nehmen

x² - 6x + 8 = 0
x = -p/2 ± √((p/2)² - q) = 3 ± √(9 - 8) = 3 ± 1
x = 2 oder x = 4

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x2 + (6 - x)² = 20

wie kommt man auf diese Zeile?

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Das schwarze Quadrat links unten hat den Flächeninhalt x^2. Das Quadrat rechts oben hat den Flächeninhalt (6 - x)^2. Die Summe der beiden Flächen ergibt die gesamte schwarze Fläche.