Berächnung von einem Flächeninhalt zwischen f(x) und x achse intigral

Question

Ich hab eine aufgabe im Bereich der Intigrale.

Berechenen sie den Inhalt der von dem Graphen f(x)= -x²+4x und der x-Achse begränzten Fläche.

Wir machen das in den 3 Schritten:

1. Man bestimmt die Nullstellen von f auf(a;b)

2.Man untersucht, welches Vorzeichen f(x) in den Teilnintervallen hat.

3. Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie.

Kann mir vielleicht jemand jeden dieser Drei Schritte anhand der Aufgabe erklären?

Answer 1

Berechenen sie den Inhalt der von dem Graphen
f(x)= -x²+4x und der x-Achse begränzten Fläche.

Wir machen das in den 3 Schritten:
1. Man bestimmt die Nullstellen von f auf(a;b)

f ( x ) = -x^2 + 4x

-x^2 + 4x  = 0
x * ( - x + 4 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
x = 0
und
-x + 4 = 0
x = 4
( 0  | 0 ) ( 4  | 0 )

2.Man untersucht, welches Vorzeichen f(x) in den Teilnintervallen hat.

Die Parabel schneidet die x-Achse in 2 Punkten.
Es gibt nur 1 Fläche.

3. Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie.

Stammfunktion bilden

∫ -x^2 + 4x dx = -x^3 / 3 + 4*x^2 /2 = -1/3 * x^3 + 2 * x^2

[ -1/3 * x^3 + 2 * x^2 ]₀⁴
-1 /3 * 4^3 + 2 * 4^2
- 64/3 + 32
32/3

Die Fläche beträgt 32/2

Bei bei Bedarf gern weiter behilflich.
Skizze usw.