Flächeninhalt Berechnung der Fläche zwischen Tangente und x-Achse?

Question

Wie berechnet man den Inhalt der Fläche , die vom Graphen von f , der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird ?  

Wie geht man hier vor ? Und wie lautet dann der Rechenweg und auch mit der Steigungsformel bei diesen beiden Aufgaben ? 

b) f (x) = (x-2)⁴ ; P (0/16)

Flächeninhalt Berechnung der Fläche zwischen Tangente und x-Achse? 

Comments

Welche beiden Aufgaben?

Answer 1

Tangente hat die Steigung  f ' (0) = -32 und y-Achsenabschnitt 16

also t(x) = -32x + 16 .

Fläche zwischen Graph f und x-Achse im Bereich 0 bis 2 gibt das

Integral von 0 bis 2 über f(x) dx  an, das gibt  32/5

Davon musst du das Dreieck mit den Ecken (o;16)  (0;0)

und (0,5;0) abzeihen .

Also  32/5 -  0,5*0,5*16 = 32/5  - 4 = 12/5

Comments

Ok habe es verstanden aber wie kommt am Anfang auf t(x) = -32x + 16 ? Wie geht man da vor genau? 

Vielen Dank

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lineare Funktion  t(x) = m*x + b

m ist die Steigung, hier  f ' (0) = -32

Das b ist der y-Achsenabschnitt, weil der Punkt (0;16)

ist, ist das eben die 16.

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Ein Skizzchen zur Veranschaulichung 

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Wie leitet man (x-2)^4 ab damit -32 kommt ? Wie geht man hier vor ?

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(x-2)^4 leitet man mit der Kettenregel ab, indem man die ableitung der äußeren funktion auf die innere funktion anwendet und das dann mit der Ableitung der inneren funktion multipliziert.

f'(x)=4*(x-2)^3*1

      =4*(x-2)^3

Dann brauchen wir ja für die Tangente die Steigung an der Stelle 0. Also setzen wir 0 in die Ableitung ein.

f'(0)=4*(-2)^3=4*(-8)=-32

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Wie geht es dann hier weiter ? Von wem muss ich die Stammfunktion rechnen ?

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Du integrierst die Funktion f (x)=(x-2)^4 in den Grenzen von 0 bis 2. Also brauchst du von dieser Funktion die Stammfunktion. Dann rechnest du Stammfunktion an oberer Grenze minus Stammfunktion an unterer Grenze. 

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Von wem muss ich die Stammfunktion rechnen ?

von (x-2)⁴ und dann F(2) - F(0) .

das gibt  32/5

Davon musst du das Dreieck mit den Ecken (o;16)  (0;0)

und (0,5;0) abzeihen .

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Wieso diese Zahlen subtrahieren Also  32/5 -  0,5*0,5*16 = 32/5  - 4 = 12/5 ?

Wegen 1/2 *g *h ?

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Genau! Gesamtfläche minus Dreieck gibt

das Gesuchte.