Geben Sie z_{1} in Exponentialform an. Wie lautet die konjugiert komplexe Zahl von z_{2}?

Question

Aufgabe - Vermischtes zu Darstellungen komplexer Zahlen:

Gegeben sind die komplexen Zahlen \( z_{1}=\sqrt{3}-i, \quad z_{2}=1-i, \quad z_{3}=4 e^{\frac{5 \pi}{3} i} . \)

a) Geben Sie \( z_{1} \) in Exponentialform an. Wie lautet die konjugiert komplexe Zahl von \( z_{2} \) ? Welches Argument hat sie und in welchem Quadranten liegt sie? Welche Beziehung gilt allgemein zwischen dem Argument einer komplexen Zahl \( z \) und ihrer konjugiert komplexen Zahl \( \bar{z} \) ?

b) Welchen Betrag besitzt die Zahl \( z_{3} \) ? Hat sie einen positiven oder einen negativen Realteil? Welches Vorzeichen hat der Imaginärteil? Für einige \( n \in \mathbb{N} \) ist die Potenz \( z_{3}^{n} \) reell. Geben Sie ein derartiges \( n \) an und berechnen Sie \( z_{3}^{n} \) für dieses \( n \).

c) Geben Sie \( z_{4}=z_{3} \cdot z_{1} \) in Exponentialform an. Geben Sie \( z_{5}=\frac{z_{3}}{z_{2}} \) in Exponentialform an.

Answer 1

konjugiert zu z2 ist 1+i.       Argument hast du ja:   pi/4, also 1.Quadrant.

Allgemein:    arg von z-konjugiert =    - arg von z

b) Betrag von z3 ist 4 (Immer die Zahl vor dem e hoch ....). z3 hat den

positiven Realteil 4*cos(pi*5/3)=2

weil immer gilt    r * e^{i*phi} = r * (cos(phi) + i* sin(phi))

Imaginärteil hat das Vorzeichen von sin(pi*5/3)=-0,5*wurzel aus 3,

also negativ.

reelle Potenz:  Es ist arg(z3) = pi*5/3. Beim Potenzieren wird arg mit dem Exponenten

multipliziert. Potenz ist reell, wenn arg ein Vielfaches von pi ist, hier also z.B.

beim Exponenten 3.

Dann gilt z3^3 = 4^3 * e^{i*5pi}= 64*e^{i*5pi}

c) für z1 hattest du schon   z1=2* e^{fünf sechstel pi i}

und z3 = 4*e^{5 drittel pi i}

Also z1*z3=2*4*e^{(5 drittel + 5 sechstel pi i)} = 8*e^{2,5pi i}