Warum ist B(n,p,k) beim Erwartungswert von k maximal

Question

Frage steht oben. Das ganze wird in einem Beweis benutzt und vorausgesetzt und ich verstehe nicht warum das so ist.

Answer 1

Soll \( B(n,p,k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \) sein? Wenn ja, was verstehst Du unter Erwartungswert von \( k \)

Comments

Ja B(n,p,k) soll obiges sein.

Den Erwartungswert berechnet man mit n*p,falls dir das weiter hilft.

Und ich glaube es war der Erwartungswert der gemeint war, war der von B(n,p,k) sorry

---

Ich weiss wie der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung berechnet wird, das ist aber nicht k. Nur was willst Du maximieren? Das versteh ich nicht.

Answer 2

Man kann die B(n,p,k) z.B. in einem Säulendiagramm veranschaulichen. Dass B(n,p,k)  (für vorgegebene Werte von n und p)  ungefähr da am größten wird, wo auch der Erwartungswert  E(k) = n*p  liegt, ist doch mal bestimmt nicht sonderlich erstaunlich.

Allerdings ist ja im Allgemeinen n*p nicht ganzzahlig, aber die Werte von B(n,p,k) sind nur für ganzzahlige k definiert. Eine exakte Übereinstimmung darf man also gar nicht erwarten. Trotzdem kann man die Vermutung, dass da wenigstens eine gute Annäherung besteht, durch eine mathematische Überlegung bestätigen, nämlich durch eine Extremwertrechnung. Dazu betrachtet man die Funktion

      B(x) :=  Binomial(n,x) * p^x * (1-p)^n-x     

(man muss dazu die Funktion "Binomial" auf reelle x erweitern)

und berechnet ihren Hochpunkt. Im Detail dürfte dies aber doch nicht elementar sein. Ich habe mal grafisch den Fall mit n=100 und p=0.2 untersucht. Es ist n*p=20 . Der genaue Hochpunkt der Kurve mit y=B(x) liegt allerdings nicht exakt bei x=20, sondern ziemlich genau bei x=19.7 .