Man kann die B(n,p,k) z.B. in einem Säulendiagramm veranschaulichen. Dass B(n,p,k) (für vorgegebene Werte von n und p) ungefähr da am größten wird, wo auch der Erwartungswert E(k) = n*p liegt, ist doch mal bestimmt nicht sonderlich erstaunlich.
Allerdings ist ja im Allgemeinen n*p nicht ganzzahlig, aber die Werte von B(n,p,k) sind nur für ganzzahlige k definiert. Eine exakte Übereinstimmung darf man also gar nicht erwarten. Trotzdem kann man die Vermutung, dass da wenigstens eine gute Annäherung besteht, durch eine mathematische Überlegung bestätigen, nämlich durch eine Extremwertrechnung. Dazu betrachtet man die Funktion
B(x) := Binomial(n,x) * px * (1-p)n-x
(man muss dazu die Funktion "Binomial" auf reelle x erweitern)
und berechnet ihren Hochpunkt. Im Detail dürfte dies aber doch nicht elementar sein. Ich habe mal grafisch den Fall mit n=100 und p=0.2 untersucht. Es ist n*p=20 . Der genaue Hochpunkt der Kurve mit y=B(x) liegt allerdings nicht exakt bei x=20, sondern ziemlich genau bei x=19.7 .