LGS: Lösungsmengen von vier Schülern prüfen.

Question

Aufgabe:

(a) In einer Klausur wurden von den Schülern für das lineare Gleichungssystem

\( \left[\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 1 \\ 4 & -4 & 2 \\ 2 & -5 & 1 \end{array}\right] \cdot x=\left[\begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right] \)

die folgenden Lösungen angegeben:

Schüler \( Q: z=\left[\begin{array}{r}-7 / 4 \\ 1 / 2 \\ 5\end{array}\right]+q\left[\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] \) für alle \( q \in \mathbb{R} \)
Schüler \( R: u=\left[\begin{array}{l}1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 1 / 2\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right] \) für alle \( r \in \mathbb{R} \)
Schüler \( S: v=\left[\begin{array}{r}2 \\ 1 / 2 \\ -5 / 2\end{array}\right]+s\left[\begin{array}{r}-1 / 2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \) für alle \( s \in \mathbb{R} \)
Schüler \( T: w=\left[\begin{array}{r}-3 \\ 1 / 2 \\ 1\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right] \) für alle \( t \in \mathbb{R} \)

Welche Schüler haben die richtige Lösungsmenge gefunden?

Comments

Setze die Lösungen der verschiedenen Schüler in die gegebene Matrixgleichung ein und schaue, was rauskommt.

Entweder gleich mit dem Parameter oder erst mal die Lösung mit t=0 und dann noch die Lösung mit t=1.

Answer 1

Ich setze dir mal die Lösung des ersten Schülers ein:

2(-7/4 + 2q) + 3(1/2 + 0) + 1(5 + 4q) = 3

4(-7/4 + 2q) - 4(1/2 + 0) + 2(5 + 4q) = 1

2(-7/4 + 2q) -5 (1/2 + 0) + 1(5 + 4q) = -1

Schaue erst mal, dass du verstehst, wie hier eingesetzt wurde.

Vereinfache nun jede Zeile so weit wie möglich: Klammern auflösen...

Es darf keine Widersprüche geben, wenn die Lösung des ersten Schülers stimmt.

2(-7/4 + 2q) + 3(1/2 + 0) + 1(5 + 4q) = 3

Klammern auflösen...

q=0

4(-7/4 + 2q) - 4(1/2 + 0) + 2(5 + 4q) = 1

....

q=0

2(-7/4 + 2q) -5 (1/2 + 0) + 1(5 + 4q) = -1

...

q=0

Die Lösung des ersten Schülers stimmt nur für q=0, aber nicht wie er angegeben hat für alle q aus IR.

D.h. x=(-7/4 , 1/2, 5) ist eine richtige Lösung, aber seine weiteren Lösungen sind falsch.

Nun dasselbe bei den andern angeblichen Lösungen durchrechnen.

Comments

Also ich habe bei dem ersten Schüler die klammern aufgelöst und habe das hier rausbekommen:

\( \begin{aligned} -\frac{7}{2}+4 q+\frac{3}{2}+0+5+4 q=3 & \quad | 3+8 p \\ -7+8 q-2+10+8 q=1 & \quad | 1+16 q \\ -\frac{7}{2}+4 q-\frac{5}{2}+5+4 q=-1& \quad | -1+8 q \\ \end{aligned} \)

Also weil die Ergebnisse nicht übereinstimmen, ist die Lösungsmenge des ersten Schülers falsch... Hab ich das richtig verstanden?

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Klammern auflösen ist der erste Schritt vereinfache jede einzeln weiter. Du kommst dann bei allen auf q=0. (Interpretation vgl. oben)Erste Zeile:
3 + 8q=3 -----> 8q=0 → q=0.Weitere: 1 + 16q = 1 → q=0und: -1 + 8q = - 1 -----> q=0.

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Bei dem zweisten schüler komme ich ja dann auf [3 1 -1] heisst das dass der zweite schüler die richtige lösungsmenge hat

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Ja genau! Der hat die ganze Lösungsmenge richtig.