Summenformel für geometrische Reihen mit Hilfe von vollständiger Induktion beweisen.

Question

Ich hoffe ich habe es soweit richtih gemacht.tion

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So rum hat es geklappt ;)

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Vom Duplikat:

Titel: Vollständige Induktion. Summenformel Partialsummen von geometrischen Reihen zeigen.

Stichworte: induktion,summenformel,geometrische,reihe,partialsumme

Meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie mit Hilfe der geomatrischen Summenformel:

$$ \sum _{ j=m }^{ n }{ { q }^{ j } } =\quad \frac { { q }^{ m }-{ q }^{ n+1 } }{ 1-q } \quad (q\epsilon R\diagdown \left\{ 1 \right\} fest)\\  $$

Da qER\{1} festgelegt ist, darf ich im Induktionsanfang für q nicht m einsetzen oder?? Weil ich nicht weiß ob m vielleicht 1 ist? Da m ja unbekannt ist? Oder wie ist das? Hoffe jemand kann mir helfen, danke.

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Vom Duplikat:

Titel: Geometrische Summenformel beweisen mit 2 Variablen

Stichworte: summenformel,geometrische,induktion

Hi LLeute,folgende Formel beweisen (also mit Induktionsanfang, Induktionsschritt usw)
$$\sum _{ j=m }^{ n }{ { q }^{ j } } =\frac { { q }^{ m }-{ q }^{ n+1 } }{ 1-q } \quad (q\epsilon R\setminus \left\{ 1 \right\} fest$$
Mein Problem dabei ist, dass in der unteren Grenze eine Variable steht und ich weiß nicht wie ich das jetzt rechnen soll.Kann mir vielleicht bitte jemand helfen???
hier nochmal die allgemeine geometrische Summenformel:
$$ \sum _{ j=0 }^{ n }{ { q }^{ j } } =\frac { 1-{ q }^{ n+1 } }{ 1-q } \quad (q\epsilon R\setminus \left\{ 1 \right\} fest)$$

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Vom Duplikat:

Titel: Durch vollständige Induktion beweisen: Summenformel für Teilsummen von geometrische Reihen

Stichworte: induktion,vollständige-induktion,summenformel,teilsummen,geometrische-reihe

Ich brauche eure Hilfe!

Ich soll durch vollständige Induktion zeigen, dass die Formel

q^1 + q^2 + ... q^n = ( q^n+1 - q ) /  (q - 1 ) gilt. Wobei q ∈ ℝ \ { 1} und n∈ ℕ*

Ich weiss nicht wie ich es machen soll. Bitte helft mir. Da n ∈ ℕ* muss ich als erstes n = 1 einsetzen. Aber weiter weiss ich nicht.

Für vollständige Lösungen wäre ich euch sehr dankbar!!

Summenformel für Teilsummen von geometrische Reihen

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Vgl. auch hier https://www.mathelounge.de/167381/summenformel-geometrische-vollstandiger-induktion-beweisen und weitere "ähnliche Fragen".

Beachte: Du musst um die Exponenten genügend Klammern setzen.

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Danke. Aber ich vestehe nicht wie ich mit dem q umgehen soll. Denn für n=1 kommt auf beiden Seiten ja nicjt8fas selbe raus?

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Betrachte auch die vielen Duplikate und ihre Antworten.

Answer 1

Moin immai,

mir ist nicht ganz klar, wie Du von der zweiten Zeile des Ind.beweises auf die dritte gekommen bist? Das erscheint mir etwas abenteuerlich, auch wenn Du am Ende wohl zum richtigen Ergebnis kommst. Vielleicht seh ich es auch einfach nicht.

Im Zweifelsfalle kannst Du auch einfach nochmals hier reinschauen:

http://de.wikibooks.org/wiki/Aufgabensammlung_Mathematik:_Geometrische_Summenformel

Grüße

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Ich hatte alles schritt für schritt gemacht.

Ich habe es hier nur abgekuerzt damit es noch auf eine seite passt.

Ich zeige mal noch die zwischen schritte.

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Hier mal der zwischen schritt.

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Das hatte noch gefehlt.

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Ah ok, das sieht gut aus ;).

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Danke sehr ;)

Answer 2

Hi immai,

der Beweis ist schon richtig obwohl du in der Zeile unter Ind. Beweis einen Fehler hast, da müsste auf der rechten Seite n+2 im Exponent stehen und nicht n+1.

An sich ist die Vorgehensweise wieder einmal direkt umgekehrt aber mein Gott so lange es funktioniert ;) muss ja nicht jeder genau gleich denken.

Gruß

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Achso

Ich dache solange im summenzeichen n+1 steht muss auch die rechte ohne n+1 auskommen?

Ich habe ganz oben beim ersten versuch anders versucht hatte aber nicht geklappt. Kannst du da schauen bitte was ich machen muesste?

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derselbe Fehler wie in dem anderen Arbeitblatt, deswegen kommst du auch auf kein sinnvolles Ergebnis.

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Also auch wieder n+2 statt n+1.

Sorum sollte es da auch funktionieren also.

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Ja. Weißt du auch warum da n+2 stehen muss? Ist dir das klar?

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Ist es nicht deswegen weil es hier gezeigt wird das es auch fur n+1 zählt.

Das es dann mit der umformung auf normal n funktiiniert?

Also zuerst addiert man n+1 und dann zieht man durch umformungen n+1 ab. Damit man sehen kann das es auch für ein bestimmtes aber beliebiges n gilt.

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Ja genau :)

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Endlich verstehe ich die sache besser ;)

Answer 3

Hallo

das mit n=1 kannst du hoffentlich. für die Induktion nimm an die Formel gilt für n. dann addiere auf beiden Seiten qⁿ⁺¹ und bring die rechte Seite auf den Hauptnenner und du bist fast fertig.

Gruß lul

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Danke für die schnelle Antwort. Aber ich weiss nicht wie ich es für n=1 machen soll, denn auf beiden Seiten kommt doch nicht das gleiche raus.

q^1  ist q und für n=1 für die rechte Seite: (q^2 - q) / ( q-1) . Aber wad soll ich jetzt damit anfangen?

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(q^{2} - q) / ( q-1)

= (q(q - 1)) / ( q-1)

= q , wobei q≠1

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Endlich macht das Sinn!!

Aber ich habe eine Frage, die mag zwar dumm sein, aber was soll's. Wieso ist q^{2} - q das selbe wie

 q*(q-1) ?

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Oh mann natürlich. Ausklammern, ich Dämel.

Vielen Dank für deine Hilfe.

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Aber können Sie mir dann bitte weiterhelfen?

Jetzt habe ich es für n=1 gezeigt und jetzt muss ich es für (n+1) zeigen.

Heisst das es gilt

q^{1} + ... q^{n+1} = ( q^{n+1} - q) /

(q - 1) ?

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Sieh wohl so aus, als würde meine Antwort nicht angezeigt. Deshalb mache ich es hier.

Ich habe durch Ihre Hilfe jetzt gezeigt, dass diese Formel für n=1 gilt. Jetzt muss ich es für (n+1) zeigen. Heisst das es gilt jetz

q^{1} + .... q^{n+1} = (q^{n+1} - q) /

(q-1) ?

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q^{1} + .... q^{n+1} = (q^{(n+1)+1} - q) / (q-1) ?

= (q^{n+2} - q) / (q-1)

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Genau. Wenn ich jetzt die linke mit dem Nenner der rechten Seite, also

(q-1) multipliziere, bin ich auf beiden Seiten den Nenner los. Damit bleibt nur noch q^{n+1} - q + q^{n+1} =

q^{n+2} - q übrig. Wie zeige ich jetzt, dass sie gleich sind?

Answer 4

wenn du die geometrische Summenformel verwenden darfst, brauchst du keine Induktion durchzuführen.

Alles was du hier benötigst ist die Formel und die folgende Überlegung:

$$ \sum_{j=m}^{n} q^j = \sum_{j=1}^n q^j - \sum_{j=1}^{m-1} q^j $$

Gruß

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Danke für die Antwort, ich habe total vergessen zu erwähnen, dass

Für alle n E N₀ ,$$ \quad n \ge  m,\quad $$, m E N₀ gilt

davor steht.

Aber ich verstehe leider auch nicht wie du auf deine Überlegung kommst, also besonders auf die j=1 :/

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Das ändert nichts daran, dass die Induktion schon in der geometrischen Summenformel verankert ist und nicht wiederholt werden müsste.

Das n ≥ m ist ja klar, weil die Summe sonst immer Null wäre. Wie man auf die Überlegung kommt:

(A) Summe von der Zahl m bis n: \( q^m + q^{m+1} + .. + q^n \)

(B) Summe von der Zahl 1 bis n: \( q^1 + q^2 + ... + q^{m-1} + q^m + q^{m+1} + .... +q^n \)

(C) Summe von der Zahl 1 bis m-1: \( q^1+q^2+...+q^{m-1} \)

Es sollte offensichtlich sein, dass: B = C + A, und somit A = B - C

Du solltest dich ein wenig mehr mit dem Summenzeichen vertraut machen, anscheinend ist das noch nicht ganz klar.

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$$ \sum_{j=m}^n q^j = \sum_{j=0}^n q^j - \sum_{j=0}^{m-1} q^j $$

Gruß

Answer 5

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Geometrische_Summenformel

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Ok danke. Ich habe aber eine Frage. Wie ersetzten sie dort das q^{n+1} mit der Formel  ( q^{n+1} (1-q) ) /

(1-q) ?

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Du hast links einen Summanden mehr als vorher.

D.h. du kannst die Induktionsvoraussetzung einsetzen, den letzten Summanden addieren und dann Bruchaddition verwenden. Vgl. all die andern Antworten.