(Geometrische Summenformel) Wie komme ich von der 2. Reihe in die 3.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { a) } \sum \limits_{k=1}^{5} \frac{3+(-\sqrt{2})^{2 k}}{2^{k}}=\sum \limits_{k=1}^{5} \frac{3}{2^{k}}+\frac{\left((-\sqrt{2})^{2}\right)^{k}}{2^{k}} \\ =\sum \limits_{k=1}^{5} 3 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k}+\frac{z^{k} 1}{z^{k}}=3 \cdot \sum \limits_{k=1}^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}+\sum \limits_{k=1}^{5} 1 \\ =3\left(\sum \limits_{k=0}^{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}-1\right)+5 \underset{\substack{\text { ge0.SF } \\ q=\frac{1}{2} \neq 1}}{=} 3 \cdot\left(\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{5+1}}{1-\frac{1}{2}}-1\right)+5 \\\end{array} \)

Wie komme ich aus der 2. Reihe in die 3.? Insbesondere die +5 vor dem Anweden der GeoSF. Die Linke Seite habe ich mithilfe der Nulladdition auch raus. Nur würde bei mir anstatt von +5 nur +1 stehen (von oben mitgenommen quasi). Kann mir jemand einen Ansatz geben was ich falsch mache?

Answer 1

\(  \sum \limits_{k=1}^{5} 1 =  5 \)

und

\( \sum \limits_{k=1}^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{k}\)

\(=  -1 + \sum \limits_{k=0}^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{k}   \)

Weil der 0-te Summand die 1 ist.

Comments

Habs verstanden. Danke!