Kombinatorik, Royal Flush und Vierling gleichzeitig.

Question

ich möchte die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass in einem Pokerspiel mit 52 Karten, was von 2 Personen gespielt wird die eine Person ein Royal Flush (also 10, Bube, Dame, König, Ass von der selben Farbe) und der andere einen Vierling auf der Hand hat. 
Jeder bekommt 5 Karten. Ich hätte so gerechnet:

Es handelt sich um ein Experiment "Ziehen ohne zurücklegen ohne Betrachtung der Reihenfolge"

Es gibt 4\binom{5}{5}=4 Möglichkeiten einen Royal Flush zu bekommen.

Die andere Person hat unterschiedlich viele Möglichkeiten. Wenn sie nämlich eine 10, Bube, Dame, König, Ass zieht, dann kann sie keinen Vierling mehr bekommen, weil von jeder Karte nur 4 im Spiel sind und der andere Spieler ja schon jeweils eine dieser Karte auf der Hand hat.

Er hat:

$9\binom{4}{4}\cdot\binom{43}{1}$ Möglichkeiten einen Vierling zu bekommen.

Insgesamt gibt es 9 Mögliche Vierlinge (2,3,4,...,9) von den 4 guten Karten im Stapel muss er alle ziehen und kann dann noch eine beliebige aus den restlichen 44 Karten ziehen. Von den 52 Karten sind schon 5 bei Spieler A und 4 bei Spieler B, also sind noch 43 im Spiel.

Und die Wahrscheinlichkeit wäre dann:

P(Vierling und Royal Flush)$=\frac{4\binom{5}{5}+9\binom{4}{4}\cdot\binom{43}{1}}{\binom{52}{10}}\approx 2.47\cdot 10^{-8}$

Wäre dies richtig?

Es kommt mir irgendwie noch zu hoch vor...

Comments

Der Vierlingwetter meine ich hat unabhängig von dem Ziel, das der Gegenspieler auf Royal Flush verfolgt, mit jeder Karte die gleichen Aussichten.

Bei der Ziehung wird die Menge der Karten ja nicht dadurch beeinflusst, ob der Gegenspieler eine Royal Flush oder Little Joe - Kombination erhofft.

Zumindest gilt das bei der Variante, dass jeder auf einen Wurf je 5 Karten verdeckt erhält.

Da die Menge der Pokerspielvarianten deutlich grösser 1 lbeträgt, müsste vorab geklärt werden, welches Spiel überhaupt angesagt wird.

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Sorry, das ich dein Kommentar erst jetzt lese, habe das übersehen.

Ich bin kein Pokerspieler aber es wird das "alte" gespielt, also nicht die neuere Variante wo jeder 2 Karten auf der Hand hat und dann 5 Karten für jeden aufgedeckt werden.

Jeder bekommt direkt 5 Karten.

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Ich hab mal versucht etwas drüber nachzudenken:

die Fragestellung lautet ja dass Flush und Vierling gleichzeitig  erscheinen. Also erstmal überlegen wie Wahrscheinlich ein Royal Flush ist. Ich meine es gibt nur 4 Möglichkeiten unter den 5 aus 52 Karten.

Sowie irgendein Royal Flush im Fächer des einen Spielers liegt, können Vierlinge nur noch von den kleinen Werten (unter 10) entstehen. Also 2,3,4,5 ,6,7,8,9 insgesamt 8 mögliche vierer Kombinationen in 5 Karten aus dem Restkartenstapel von 47 Karten.

Dann die beiden Wahrscheinlichkeiten verknüpfen und hoffen, dass die Überlegung wahrscheinlich richtig war ...

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Ja, so habe ich ja in meinem ersten Poste auch gerechnet, wenn ich das richtig sehe. 
Nur weiß ich nicht wie ich es hier schön darstellen kann.

"Es gibt 4\binom{5}{5}=4 Möglichkeiten einen Royal Flush zu bekommen."

"Er hat:

$$9\binom{4}{4}\cdot\binom{43}{1}$$ Möglichkeiten einen Vierling zu bekommen."

Nur das ich noch 43 Karten zur Auswahl habe. Du hast scheinbar mit 47 gerechnet. Ich denke so, dass der erste Spieler ja schon 5 Karten aus dem Stapel gezogen hat. Dann sind noch 48 drin. Nun bekommt Spieler B den Vierling auf die Hand. Nun sind noch 44 Karten im Spiel. Hmm, dann müsste ich es wohl doch durch 44 ersetzen. 
Was meinst du?

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52-5=47

oder ?

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Selbstverständlich, aber wenn er den Vierling schon hat, dann sind es ja

52-5-4=43 Karten die noch vorhanden sind.

Wahrscheinlich hast du recht, aber mir erschließt sich die Begründung dafür nicht wirklich.

Wenn Spieler A den Royal Flush schon hat, dann sind noch 47 Karten im Spiel. Nun hat B 9 Möglichkeiten einen Vierling zu bekommen. Und diesen kann er dann noch mit einer weiteren beliebigen Karte kombinieren, aber wieso sollten das nun ebenfalls 47 sein?

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Ich denke es macht einen Unterschied, ob der zweite Spieler 4 Karten zieht und einen Vierling hat, den er dann mit einer beliebigen 5. Karte kombinieren kann, oder 5 Karten zieht, in denen vier Karten zu einem Vierling zusammenkommen.

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Diese Kombinatorik Aufgaben sind echt tricky.

Ich denke du hast recht. 

Also:

Spieler A hat 4 Möglichkeiten einen Royal Flush zu bekommen.

Spieler B hat 8*47 Möglichkeiten einen Vierling zu erhalten.

Die Wahrscheinlichkeit wäre dann also

$\frac{4+8*47}{\binom{52}{10}}$

Wie stellt man hier Formeln da?

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$\frac{4+8*47}{\binom{52}{10}}$

$$\frac{4+8*47}{\binom{52}{10}}$$

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ich bin mir nicht sicher, ob ich bei Kombinatorik wirklich recht habe - ich versuche nur Überlegungen anzuregen.
So würde ich mal vorschlagen, den Vierling mal ganz unabhängig von der anderen Bedingung zu ermitteln - also allgemein - und dann erst die Einschränkungen einzusetzen.

Führt die Annahme, die flush-Karten als berets entnommen zu betrachten denn wirklich zum richtigen Ergebnis?

Oder sollten die Wahrscheinlichkeiten für flush und Vierling jeweils vom vollen stack aus berechnet und anschlissend multipliziert werden?

Führen beide Wege zum gleichen Resultat ?