Kombinatorik, Zahlenschloss mit Zifferncode

Question

Aufgabe:

Ich verstehe die aufgabe d) nicht so ganz.

1. Wieso spielt die Reihenfolge zunächst keine Rolle?

2. Woher stammt die Formel?

Text erkannt:

Klausur Wirtschaftsstatistik - 1.8.2023

Aufgabe 2: Ein Schloss ist durch einen fünfstelligen Zifferncode gesichert (Ziffern von jeweils 0 bis 9 sind möglich). Um das Schloss zu öffnen, müssen alle fünf Ziffern (8 P) in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden.

Bei den Teilaufgaben a) und b) können Ziffern in dem Code auch mehrmals vorkommen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der komplette Code gleich beim ersten Versuch erraten?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau drei Stellen des Codes beim ersten Versuch richtig geraten (d.h. dreimal die richtige Ziffer am richtigen Platz)?
Nun wird die Regel für den Code dahingehend geändert, dass alle fünf Ziffern verschieden sein müssen.
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der komplette Code gleich beim ersten Versuch erraten?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden zwar die fünf Ziffern des Codes richtig erraten, aber in einer falschen Reihenfolge eingegeben? Hier geben Sie bitte 6 Nachkommastellen an.

Hinweis: Aufgabe d) kann man durch die Differenz von zwei Wahrscheinlichkeiten lösen.

Lösungen:
a) Anzahl der möglichen Codes: \( \tilde{V}_{10}^{5}=10^{5} \rightarrow \) Wahrscheinlichkeit \( =\frac{1}{10^{5}}=10^{-5} \)
b) Binomialverteilung: \( f(3)=\binom{5}{3} \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{3} \cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{2}=0,0081=0,81 \% \)
c) Anzahl der möglichen Codes: \( V_{10}^{5}=\frac{10!}{5!}=30.240 \)
\( \rightarrow \text { Wahrscheinlichkeit }=\frac{1}{30240}=3,307 \cdot 10^{-5} \)
d) Anzahl der Möglichkeiten für 5 richtige Ziffern (Reihenfolge spielt zunächst keine Rolle): \( C_{10}^{5}=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=252 \)
\( \rightarrow \) Wahrscheinlichkeit für 5 richtige Ziffern: \( \frac{1}{252}=0,003968 \)
ner stedut awh WKX drimer doss Bitrentige
nonty lot

Davon muss die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffern in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden, subtrahiert werden, das ist das Ergebnis von Aufgabe c).
\( \rightarrow \) Gesuchte Wahrscheinlichkeit \( =0,003968-0,000033=\underline{0,003935} \)

Comments

ner stedut awh WKX drimer doss Bitrentige

Das sehe ich aber anders.

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Woher stammt die Formel?

Aus der Tabelle, die Du in dem anderen Post hochgeladen hast.

Answer 1

Wieso spielt die Reihenfolge zunächst keine Rolle?

Weil ja danach

die Wahrscheinlichkeit, dass die Ziffern in der richtigen Reihenfolge eingegeben werden, subtrahiert

wird.

Answer 2

1. Wieso spielt die Reihenfolge zunächst keine Rolle?

Weil du nur die 5 Ziffern aus denen der Code besteht richtig raten sollst (z.B. 1, 2, 3, 4 und 5).

Das du alle 5 Ziffern richtig rätst dafür ist die Wahrscheinlichkeit 1/(10 über 5) = 1/252

Aber damit kennst du noch nicht die richtige Reihenfolge in welcher die Ziffern eingegeben werden müssen. Das könnte ja z.B. 12345 oder 54321 oder eine ganz andere Reihenfolge sein.

Nun gibt es bei 5 Ziffern aber 5! Reihenfolgen und nur eine davon ist Richtig und 5! - 1 Reihenfolgen sind verkehrt.

Die Wahrscheinlichkeit das du also alle 5 Ziffern aus denen der Code besteht richtig rätst. Die Ziffern aber dann in einer verkehrten Reihenfolge eingibst ist

1/252·(5! - 1)/5! = 17/4320

Ist das so verstständlich?