Vektorgeometrie: Geraden identisch, parallel, verschieden? g:x=(1/a/2)+r*(b/3/4) und h:x=(c/0/3)+s*(3/1/d)

Question

die Aufgabe lautet:

Gibt es für die Variablen a,b,c und d Zahlen, sodass

g: x = (1/a/2) + r*( b/3/4) und h: x = ( c/0/3) + s*( 3/1/d)

a) identisch sind,

b) zueinander parallel und verschieden sind,

c) sich schneiden,

d) zueinaander windschief sind ?

Zuerst habe ich für r= 1/3 , b=9 , d=1.33 gewählt, damit :

1/3 * (b/3/4) = (3/1/d)

entweder identisch oder parallel sind.

Danach habe ich Punktprobe gemacht , ob (1/a/2) auf h liegt: ( c/0/3) + s*( 3/1/d) = (1/a/2)

und dann nach c , s und a auflösen.

Ist das soweit richtig? Oder gibt es für diese Aufgabe einen anderen Rechenweg?

Answer 1

g: x = [1, a, 2] + r * [b, 3, 4]
h: x = [c, 0, 3] + s * [3, 1, d]

Damit sie Identisch oder parallel sind muß erstmal gelten

[3, 1, d] * k = [b, 3, 4]

Aus der zweiten Zeile folgt k = 3

Daraus folgt b = 9 und d = 4/3

Das hast Du richtig gemacht. Ich würde aber d hier als Bruch stehen lassen und nicht dezimal runden.

g: x = [1, a, 2] + r * [9, 3, 4]
h: x = [c, 0, 3] + s * [3, 1, 4/3]

Damit sie identisch sind muss gelten

[1, a, 2] + r * [9, 3, 4] = [c, 0, 3]

Aus der letzten Zeile folgt r = 1/4

Damit ist a = -3/4 und c = 13/4

Mit anderen Werten a und c wären die Geraden dann echt parallel.

Comments

okay danke ;) und jetzt für c) sich schneiden und d) windschief ?

habe ich jetzt einfach für b und d eine Zahl ausgewählt , damit :

(2/3/4) kein vielfaches von (3/1/5) ist. Und somit ist es enwteder winschief oder sie schneiden sich.

Kann man das so machen ? für b und d eine andere Zahl aussuchen ?

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und für parallel ?

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Damit sie nicht parallel sind muss gelten b ≠ 9 oder d ≠ 4/3. Natürlich können auch beide ungleich sein.

Damit sie sich jetzt schneiden muss gelten

[1, a, 2] + r * [b, 3, 4] = [c, 0, 3] + s * [3, 1, d]

1 + br = c + 3s
a + 3r = s
2 + 4r = 3 + ds

s = a + 3r

1 + br = c + 3(a + 3r)
r = (3·a + c - 1)/(b - 9) --> b ≠ 9

2 + 4r = 3 + d(a + 3r)
r = (a·d + 1)/(4 - 3·d) --> d ≠ 4/3

 

s = a + 3((3·a + c - 1)/(b - 9)) = (a·b + 3·(c - 1))/(b - 9)

s = a + 3((a·d + 1)/(4 - 3·d)) = (4·a + 3)/(4 - 3·d)

Nun sollen aber die beiden Ausdrücke für s gleich sein

(a·b + 3·(c - 1))/(b - 9) = (4·a + 3)/(4 - 3·d)
a = (b + c·(3·d - 4) - 3·d - 5)/(12 - b·d) --> b·d ≠ 12

So kann ich also für beliebige Werte von b, c und d mir ein jeweiliges a bestimmen, dass die Geraden einen Schnittpunkt haben. Wähle ich b = 9 dann können sich die Geraden nicht schneiden.

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ok wow TOP antwort !

also für a , b , c und da kann ich egal welche werte eingeben damit sie sich schneiden ?

und was wäre für windschief ? muss ich dann ja b=9 wählen oder?

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Ja. mit b = 9 sollten sie auf jeden Fall Windschief sein. wenn d ungleich 4/3 ist.

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ich habe eine Frage.

Ich verstehe den schritt hier nicht

 

1 + br = c + 3(a + 3r)
r = (3·a + c - 1)/(b - 9) --> b ≠ 9

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Ich löse nach r für den Schnittpunkt auf

1 + br = c + 3(a + 3r)

1 + br = c + 3a + 9r

 

Alles mit r nach links alles andere nach rechts

br - 9r = c + 3a - 1

r(b - 9) = c + 3a - 1 

r = (c + 3a - 1) / (b - 9)

Jetzt darf der Nenner nicht Null sein. 

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okay DANKE ;)

wie kommen Sie aber hier ?

s = a + 3((3·a + c - 1)/(b - 9)) = (a·b + 3·(c - 1))/(b - 9)

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s = a + 3((3·a + c - 1)/(b - 9))
s = a*(b - 9)/(b - 9) + (9·a + 3·c - 3)/(b - 9)
s = (a·b - 9·a)/(b - 9) + (9·a + 3·c - 3)/(b - 9)
s = (a·b - 9·a + 9·a + 3·c - 3)/(b - 9)
s = (a·b + 3·c - 3)/(b - 9)
s = (a·b + 3·(c - 1))/(b - 9)

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und wie kommt man hier drauf? :D

 

(a·b + 3·(c - 1))/(b - 9) = (4·a + 3)/(4 - 3·d)
a = (b + c·(3·d - 4) - 3·d - 5)/(12 - b·d)