untersuchung gebrochen-rationaler funktionen

Question

Für jedes t>0 ist eine Funktion f_t gegeben  durch f_t(x)=8(x-t)/x², x∈R/(0). K_t sei das Schaubild der Funktion f_t.

a) Untersuche das Verhalten von f_t an den Raendern des Definitionsbereichs (d.h. für x-->0 und IxI-->∞).

b) Bestimme Asymptoten, Schnittpunkte mit der x-Achse, Extrem- und Wendepunkte von K_t.

c) Zeichne K_0,5 und K₁ für -5≤x≤5 (1 cm für 1 LE).

d) Bestimme die Ortslinie der Extrempunkte von K_t?

e) Der Ursprung und der Punkte P(2t/ 2/t) sind Eckpunkte eines achsenparallelen Rechtecks. Bestimme t so, dass der Umfang des Rechtecks minimal wird.

f) Legt man vom Ursprung aus eine Tangente an die Kurve K_t, so berührt diese K_t im Punkt B(u/f_t(u)), Bestimme die Koordinaten von B und die Gleichung der Tangente t.

Answer 1

Funktion und Ableitungen

f(x) = 8·(x - t)/x^2

f'(x) = 8·(2·t - x)/x^3

f''(x) = 16·(x - 3·t)/x^4

Asyptote

Die x-Achse ist horizontale Asymptote. Die y-Achse ist vertikale Asyptote an der Polstelle.

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches

lim (x → - ∞) f(x) = 0-

lim (x → 0-) f(x) = - ∞

lim (x → 0+) f(x) = - ∞

lim (x → ∞) f(x) = 0+

Y-Achsenabschnitt f(0)

Nicht im Definitionsbereich

Nullstellen f(x) = 0

x - t = 0

x = t

Extrempunkte f'(x) = 0

2·t - x = 0

x = 2·t

f(2·t) = 2 / t --> HP(2·t | 2/t)

Ortskurve der Extrempunkte

2·t - x = 0

t = x/2

y = 8·(x - (x/2))/x^2 = 4/x

Wendepunkte f''(x) = 0

x - 3·t = 0

x = 3·t

f(3·t) = 16/(9·t) --> Wendepunkt

Ortskurve der Wendepunkte

x - 3·t = 0

t = x/3

y = 8·(x - (x/3))/x^2 = 16/(3·x)

Tangente durch den Ursprung an den Graphen

f(x) = f'(x)·(x - 0) + 0

x = 3/2·t

f(3/2·t) = 16/(9·t)

f'(3/2·t) = 32/(27·t^2)

t(x) = 32/(27·t^2)·(x - 3/2·t) + 16/(9·t) = 32/(27·t^2)·x