Berechnen Sie die Steigung des Graphen der Funktion f(x) = x^5 an den Stellen ... Legen Sie dazu eine Tabelle an.

Question

Aufgabe: Stelgung an der Stelle, Tangentengleichung

a) Berechnen Sie die Steigung des Graphen der Funktion \( f(x)=x^{5} \) an den Stellen \( x_{1}=0, x_{2}=-3 \), \( x_{3}=2, x_{4}=1 \). Legen Sie dazu eine Tabelle an.

b) Die Tangenten \( t_{1} \) und \( t_{2} \), die den Graphen der Funktion \( f(x)=x^{2} \) in den Punkten \( P_{1}(1 \mid f(1)) \) und \( P_{2}(2 \mid f(2)) \) berühren, schneiden sich in einem Punkt \( P_{3} \). Berechnen Sie die Koordinaten dieses Punktes.

c) Berechnen Sie die Stellen, an der die Ableitung der Funktion \( f(x)=3 x^{3}-3 x+1 \) Null ist.

d) In Sattelpunkten, Hochpunkten und Tiefpunkten hat die Steigung des Graphen einen bestimmten Wert. Berechnen Sie die Punkte, an denen der Graph der Funktion \( f(x)=3 x^{2}+2 x+1 \) einen Sattelpunkt, einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt haben kann.

Answer 1

a) Die erste Ableitung gibt die Steigung an.

f(x) = x^5

f'(x) = 5x^4

Da kann man jetzt die Punkte x1, x2, x3 usw. einsetzen und berechnen.

 

b) Geradengleichungen für die Tangenten aufstellen:

Allgemeine Geradengleichung: f(x) = mx + n

m ist die Steigung und die gibt die erste Ableitung f'(x) = 2x an.

Als erstes die Tangente am Punkt (1|f(1)) = (1|1)

m = f'(1) = 2*1 = 2

Jetzt braucht man noch den y-Achsenabschnitt n.

f(x) = mx + n

1 = 2*1 + n

n = -1

Also ist die Tangente am Punkt P1: t₁(x) = 2x - 1

Mit der zweiten Tangente geht man analog vor.

 

Hat man beide Geradengleichungen, kann man sie gleichsetzen und nach x auflösen. Dieses x kann man dann in einer der Geradengleichungen einsetzen und y berechnen. Dann erhält man den Schnittpunkt S(x|y)

 

c) f'(x) = 9x^2 - 3

f'(x) = 0

9x^2 - 3 = 0

9x^2 = 3

x^2 = 1/3

x = +- sqrt(1/3)

 

d) Für Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt gilt f'(x) = 0

f'(x) = 6x + 2

f'(x) = 0

6x + 2 = 0

6x = -2

x = -1/3

Also bei (-1/3 | f(-1/3)) befindet sich ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt