a) Die erste Ableitung gibt die Steigung an.
f(x) = x^5
f'(x) = 5x^4
Da kann man jetzt die Punkte x1, x2, x3 usw. einsetzen und berechnen.
b) Geradengleichungen für die Tangenten aufstellen:
Allgemeine Geradengleichung: f(x) = mx + n
m ist die Steigung und die gibt die erste Ableitung f'(x) = 2x an.
Als erstes die Tangente am Punkt (1|f(1)) = (1|1)
m = f'(1) = 2*1 = 2
Jetzt braucht man noch den y-Achsenabschnitt n.
f(x) = mx + n
1 = 2*1 + n
n = -1
Also ist die Tangente am Punkt P1: t1(x) = 2x - 1
Mit der zweiten Tangente geht man analog vor.
Hat man beide Geradengleichungen, kann man sie gleichsetzen und nach x auflösen. Dieses x kann man dann in einer der Geradengleichungen einsetzen und y berechnen. Dann erhält man den Schnittpunkt S(x|y)
c) f'(x) = 9x^2 - 3
f'(x) = 0
9x^2 - 3 = 0
9x^2 = 3
x^2 = 1/3
x = +- sqrt(1/3)
d) Für Hoch-, Tief-, oder Sattelpunkt gilt f'(x) = 0
f'(x) = 6x + 2
f'(x) = 0
6x + 2 = 0
6x = -2
x = -1/3
Also bei (-1/3 | f(-1/3)) befindet sich ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt