Wogegen konvergieren die Wahrscheinlichkeiten, dass genau k schwarze Kugeln gezogen werden?

Question

Betrachten sie eine Folge von Urnenmodellen des Typs 1 (jeweils n-faches Ziehen ohne zurück legen), wobei im N-ten Modell die Anzahl der schwarzen Kugeln s_N und die Anzahl der weißen Kugeln w_N  sei (s_N+w_n=N)

Es gelte s_N/N --> p, N-->unendlich. Wogegen konvergieren die Wahrscheinlichkeiten, dass genau k schwarze Kugeln gezogen werden, falls N -->unendlich?

Answer 1

Das ganze konvergiert gegen die Binomialverteilung. 

(n über k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

An der Wahrscheinlichkeit ändert sich fast nichts, wenn die Menge unendlich groß ist und wir ein mal ohne zurücklegen ziehen..

Comments

Mastercoach könntest du mir vielleicht helfen oder hast du auch keine Erfahrung ?

https://www.mathelounge.de/168508/wahrscheinlichkeitsrechnung-bei-sportwetten

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Aber die Wahrscheinlichkeit ändert sich doch mit jedem ziehen. Da kann man doch keine binomialverteilung anwenden oder?

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Sicher habe ich ein paar Erfahrungen bei Sportwetten. Immerhin hatte ich alle Spielausgänge der WM im Fußball nach der Vorrunde komplett richtig getippt.

Es wurde ja schon von etlichen Leuten versucht das ganze berechenbar zu machen. 

Allerdings ist der Spielausgang tatsächlich nur zu einem sehr geringen Teil berechenbar. Und selbst wenn alle Merkmale für einen Sieger sprechen sollte ein gutes Programm dann nicht eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 100% ausrechnen.

Für welche Sportart wolltest du das ganze den machen? Oder ganz Sportarten unabhängig?

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Nimm mal 10 Kugeln. Davon 10% Schwarz und 90% weiß. 

Du ziehst 4 Kugeln ohne zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Schwarze zu ziehen.

Jetzt mach das ganze mal mit 100 Kugeln.

Jetzt mach das ganze mal mit 1000 Kugeln.

Jetzt mach das ganze mal mit 10000 Kugeln.

Jetzt mach das als Binomialverteilung mit zurücklegen.

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Okay. Danke. Hab's verstanden. 

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Für Fußball wäre es Perfekt. Doch ich will nicht 100% Trefferquote haben ,doch etwas soll es schon einbringen. Also Ich weiß was wichtig ist und was nicht ,doch ich weiß nicht wie ich es Gewichten soll wenn dann am Ende z.b. Rauskommt : Heim 70% Remis 30% Gast 50% ???

Also es darf halt nicht mehr als 100% Rauskommen ,doch das weiß ich nicht wie Ich es hinbekomme ,dass es z.b. am Ende zusammen genau 100% ergeben alle 3 Wahrscheinlichkeiten. 

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Dann normiere einfach

70% / (70% + 30% + 50%) = 46.67%

30% / (70% + 30% + 50%) = 20%

50% / (70% + 30% + 50%) = 33.33%

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Dass die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung konvergiert, ist doch noch nicht die Antwort auf die Frage nach dem Grenzwert der Wahrscheinlichkeiten, genau k schwarze Kugeln zu ziehen, oder? Ich würde mal vermuten, die Grenzwahrscheinlichkeit ist Null. Die Aussage muss aber allgemein für alle möglichen Folgen s_N gelten.