Logarithmengleichung nach x auflösen: ln(√x) + 1.5 ln(x) = ln(2x)

Question

Aufgabe:

Logarithmengleichung nach x auflösen: \( \ln (\sqrt{x})+\frac{3}{2} \ln (x)=\ln (2 x) \)

Das habe ich zu ln(2x^{-1/2}) = -3/2ln(x) umgeformt, aber wie komme ich nun auf das x?

Answer 1

ln(√x) + 1.5 ln(x) = ln(2x)

0.5 ln(x) + 1.5 ln(x) = ln(2) + ln(x)     | - ln(x)

ln(x) = ln(2)        | e^{...}

x = 2.

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+ln%28√x%29+%2B+1.5+ln%28x%29+%3D+ln%282x%29+

Logarithmengesetze: https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus

Comments

Also ist

\( (\lg x)^{2}-\lg x=2 \)

\( 2(\lg x)-\lg x=2 \)

\( \lg (x)=2 \)

oder?

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Nein: lg(x^2) = 2 lg(x)

Aber (lg(x))^2 ist etwas anderes.

(lg(x))^2 - lg(x) - 2 = 0          | Substitution u = lg(x)

u^2 - u - 2 = 0      | Formel für quadr. Glg. oder faktorisieren.

(u-2)(u+1)=0

u1 =2

u2 = - 1

Rücksubstitution.

2 = lg(x)

x1 = 10^2 = 100.

-1 = lg(x)

x2 = 10^{-1} = 0.1

Kontrolle: (lg(x))^2 - lg(x) - 2 = 0

(lg(100))^2 - lg(100) -2 = 2^2 - 2 -2 = 0 ok.

(lg(0.1))^2  - lg(0.1) - 2 = (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 -2 = 0 ok.

Beide Lösungen sind ok.

Answer 2

LN(√x) + 3/2·LN(x) = LN(2·x)

LN(x^{1/2}) + 3/2·LN(x) = LN(2·x)

1/2·LN(x) + 3/2·LN(x) = LN(2) + LN(x)

LN(x) = LN(2)

x = 2

Answer 3

ln ( x^{1/2 } ) + ln ( x^{3/2} ) = ln ( 2 * x)
ln ( x^{1/2} * x^{3/2} ) = ln ( 2 * x )  | e^
ln ( x^2 ) = ln ( 2 * x )
x^2 = 2 * x
x = 2