Berechnen Sie die ersten 3. Ableitungen von f(x)=(x^2-4)/(1-x^2)

Question

ich bin mittlerweile etwas verzweifelt und hoffe auch fleißige Eure Mithilfe :) Sitze momentan an einer systematischen Kurvendiskussion und komme bei den Ableitungen nicht weiter (bzw. auf ein falsches Ergebnis).

Folgende Ausgangsfunktion:

f(x)=(x²-4)/(1-x²)

1. Ableitung dieser Funktion lautet: f'(x)=(-6x)/(1-x²)²

Bis dahin habe ich keine Probleme, die beginnen nun ab der 2. Ableitung.

Wenn ich nun die Quotientenregel benutze (und vorher (1-x²)² ) anhand der Kettenregel in -4x(1-x²) ableite, bekomme ich als Endergebnis f''(x)=(18x⁴-12x²-6)/(1-x²)³  heraus. Laut meinem schönen Buch ist das korrekte Ergebis allerdings f''(x)=(-18x²-6)/(1-x²)³

Jetzt die große Preisfrage: Was zum Teufel mache ich falsch, dass ich jedes Mal das falsche Ergebnis herausbekomme?! Wenn jemand eine Idee hätte, bzw. mir die korrekten Schritte aufzeigen könnte, wäre ich sehr, sehr dankbar...

Answer 1

f(x) = (x^2 - 4)/(1 - x^2)

f'(x) = - 6·x/(x^2 - 1)^2

f''(x) = 6·(3·x^2 + 1)/(x^2 - 1)^3

f'''(x) = - 72·x·(x^2 + 1)/(x^2 - 1)^4

Comments

f'(x) = - 6·x/(x² - 1)²

f''(x) = (- 6·(x^2 - 1)^2 - (- 6·x)·2·(x^2 - 1)·2·x) / (x^2 - 1)^4

f''(x) = (- 6·(x^2 - 1) - (- 6·x)·2·2·x) / (x^2 - 1)^3

f''(x) = 6·(3·x^2 + 1) / (x^2 - 1)^3

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vielen Dank für Deine Antwort!!

Wenn ich das jetzt richtig identifiziere, hast Du also einfach den Term (x²-1) gekürzt, oder? Auf die Idee bin ich gar nicht gekommen, weil man doch erst jede Klammer für sich errechnen muss, also (x²-1)²?! Habe ich da irgendeine Regel verpasst? :) Könntest Du mir da einen kleinen Hinweis geben, warum das so möglich ist?

Vielen Dank für Deine Zeit!!

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Ich darf doch die ganze Klammer kürzen. Die hoch 2 bedeutet ja nur das die Klammer 2 mal als Faktor da ist.

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Vielen Dank für Deine Hilfe!