beweis durch vollständige induktion...........

Question

Zeige durch vollständige Induktion: 11ⁿ⁺ + 12 ²ⁿ⁻¹

ist fur alle n ∈ N durch 133 teilbar

ich sehe nicht durch...

Answer 1

11ⁿ⁺ + 12 ²ⁿ⁻¹  Da fehlt wohl +1 bei  11^{n+1}

Dann geht es:

Erst mal für n=1.  Da hast du    11^2+12^1 = 133 passt.

Für n+1 hast du

11^{n+2} + 12^{2n+2-1}

= 11*11^{n+1} + 144*12^{2n-1}

= 11*11^{n+1} + (11+133)*12^{2n-1}

= 11*11^{n+1} + 11*12^{2n-1} + 133*12^{2n-1}

= 11*(11^{n+1} + 12^{2n-1})     +   133*12^{2n-1}

Der erste Summand ist durch 133 teilbar nach Induktionsannahme

und der 2.. weil er den Faktor 133 enthält.     q.e.d.

Answer 2

11^{n + 1} + 12^{2·n - 1} ist durch 133 teilbar.

Induktionsansatz: n = 1

11^{1 + 1} + 12^{2·1 - 1} = 133

Induktionsschritt: n --> n + 1

11^{n + 1 + 1} + 12^{2·n + 2 - 1}

11^{n + 2} + 12^{2·n + 1}

11·11^{n + 1} + 144·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + (11 + 133)·12^{2·n - 1}

11·11^{n + 1} + 11·12^{2·n - 1} + 133·12^{2·n - 1}

11·(11^{n + 1} + 12^{2·n - 1}) + 133·12^{2·n - 1}

Erster Summand ist nach Induktionsansatz durch 133. Zweiter Summand enthält den Faktor 133 und ist ebenso durch 133 teilbar.