Ungleichung arithmetischer Mittel beweisen

Question

Folgendes soll ich beweisen und ich weiß absolut nicht weiter:

a) Seien x₁,..,.x_n positive reelle Zahlen. Zeigen Sie die folgende Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel

√π x_i ≤1/n ∑ x_i

über der wurzel und dem π steht noch ein n. unter π steht i=1. über dem summenzeichen steht ein n und unter dem summenzeichen ein i=1.

b) wann gilt die Gleichheit?

trick: man setze

y_i  = x_i / √πⁿ x_i

über der Wurzel steh wieder ein n und unter dem π zeichen i=1.

was muss ich jetzt tun? wie löse ich die aufgabe?

Answer 1

Ist das die Aufgabenstellung in lesbarer Version?

$$  \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i }≤\frac1n \sum_{i=1}^n x_i $$

bitte genau kontrollieren !!!

Comments

Ja genau das ist die :)

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"a) Seien x₁,..,.x_n positive reelle Zahlen."

das klappt nur für Zahlen x_i grösser 1

steht das wirklich so in der Aufgabe mit positiv ? Vielleicht muss man das auch erst noch beweisen, dass das nicht mit kleinen Zahlen funzt ...

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Sorry - geht auch mit Zahlen kleiner 1 - hab mich verirrt!

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Bis jetzt kann ich das nur für zwei xi nachweisen, also x1  und x2
oder wenn alle xi gleich sind.
Den vollständigen Beweis bekomm ich nicht zusammen. Sorry.

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Der Beweis ist tatsächlich so schwierig, dass er nicht für eine Übungsaufgave taugt.
Ich vermute, dass ein Spezialfall in der Vorlesung bewiesen worden ist, nämlich der, dass im Falle positiver x_i  aus ∏x_i = 1  folgt, dass  ∑x_i  ≥ n  ist.  Durch die Wahl der y_i   wird dafür gesorgt, dass diese die Voraussetzung erfüllen und Rücksubstitution in der Folgerung beweist den Satz allgemein.

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Ohje das klingt echt komiziert.ich glaube ich lasse die aufgabe einfach weg. Sehe jetzt gar nicht mehr durch