Grenzwert arithmetischer Mittel einer Folge

Question

a) Es konvergiere die Folge (an)n∈N gegen a.

Zeigen Sie, dass dann auch die Folge der arithmetischen Mittel
(bn)n∈N mit
$$ b_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} $$
gegen a konvergiert.
b) Zeigen Sie: Die Umkehrung der  vorherigen Implikation ist im Allgemeinen falsch.

Grenzwert arithmetischer Mittel einer Folge
Zeigen Sie für eine beliebige Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) reeller Zahlen und \( a \in \mathbb{N} \) :
(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}=a \)
(b) Die Umkehrung der vorherigen Implikation ist im Allgemeinen falsch.

 kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiter helfen? Ich habe leider keine Ahnung was ich da machen soll. Dankeschön

Comments

Stichwort: Dreiecksungleichung

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Vom Duplikat:

Titel: Nachweis, dass die Folge der arithmetischen Mittel konvergiert

Stichworte: folge,konvergenz

Aufgabe:

Es konvergiere die Folge (a_n)_n∈N gegen a. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge der arithmetischen Mittel
(b_n)_n∈N mit

$$ b_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} $$
gegen a konvergiert.

Problem/Ansatz:

Durch \( \frac{1}{n} \) würde die Folge gegen 0 konvergieren, also muss nachgewiesen werden, dass

wennn die Folge (a_n)_n∈N gegen a konvergiert auch \( \sum\limits_{i=1}^{n}{a_{i}} \) gegen a konvergiert.

Ist dieser Ansatz richtig und wie würde man dass dann konkret beweisen?

Ich komme hier einfach nicht weiter!

Vielen Dank im Voraus ;-)

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Findest du dort:

https://www.mathelounge.de/403253/grenzwert-arithmetischer-mittel-einer-folge

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Hoppla, tut mir leid, dann muss ich das wohl übersehen haben !!

Trotzdem danke ;-)

MfG Der Baron

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Kein Problem. Die Fragen sind inzwischen miteinander verschmolzen.

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Vom Duplikat:

Titel: Folge Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N definiert durch

Stichworte: folge,beweise

Sei (an)n∈N eine konvergente Folge mit Limes a ∈ R. Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N definiert durch

\( b_{n}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{j} \)

ebenfalls gegen a konvergiert.

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Die Frage wurde schon mehrfach in diesem Forum beantwortet:

https://www.mathelounge.de/403253/grenzwert-arithmetischer-mittel-einer-folge

Answer 1

wenn man sich die Definition von Konvergenz bzw. Grenzwert einer Zahlenfolge anschaut, hilft es diese Aufgabe zu lösen.

Wenn \(\lim_{n \to \infty}a_n=a\) so existiert für ein beliebig kleines \(\epsilon>0\) ein k für das gilt \(|a_n-a|<\epsilon\) mit \(n>k\). Bzw. \( a_n=a+\Delta a_n\) mit \( |\Delta a_n\ | < \epsilon\). Dazu teile ich die Summe \(a_1+...+a_n\) im Ausdruck für \(b_n\) in zwei Summen auf. $$\begin{aligned}\lim_{n \to \infty} b_n &= \lim_{n \to \infty}\frac 1n \sum_{k=1}^{n} a_k\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}(a_1+...+a_k)+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}(a_{k+1}+...+a_n) \\ &= \underbrace{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}a_i}_{\to 0}+\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}((n-k) \cdot a + \sum_{i=k+1}^{n}\Delta a_i)\end{aligned}$$ der erste Summand ist offensichtlich eine Nullfolge. Es bleibt $$\begin{aligned}\phantom{\lim_{n \to \infty} b_n} &= a \cdot \lim_{n \to \infty}\frac{n-k}{n}+ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=k+1}^{n}\Delta a_i \\&=  a \cdot \lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{k}{n}\right)+ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=k+1}^{n}\Delta a_i\\&=  a - a\underbrace{\lim_{n \to \infty}\left(\frac{k}{n}\right)}_{\to 0}+ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=k+1}^{n}\Delta a_i\end{aligned}$$Und für den letzten Teil lässt sich mit dem Majorantenkriterium zeigen, dass dessen Betrag gegen einen Wert geht, der kleiner als \(\epsilon\) ist, da $$\begin{aligned}|\Delta a_i|&\lt \epsilon &&\forall i \gt k \quad\text{(s.o.)} \\\underbrace{\left|\sum_{i=k+1}^n\Delta a_i\right|}_{(n-k)\space \text{Summanden}}&<(n-k)\epsilon &&|\, \div(n-k)\\\frac 1{n-k}\left|\sum_{i=k+1}^n\Delta a_i\right| &\lt \epsilon &&|\,\frac1{n} \lt \frac1{n-k}\\\frac 1{n}\left|\sum_{i=k+1}^n\Delta a_i\right| &\lt \epsilon \end{aligned}$$ Dies gilt für jedes \(n\gt k\). Demnach ist $$\left|\lim_{n \to\infty}b_n -a \right|= \left|\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \space - a\right|<\epsilon$$ geht \(\epsilon\) gegen 0, so geht der Limes des arithmetischen Mittels gegen a.

Zu (b): ein Gegenbeispiel ist ausreichend. Z.B.: \(a_n=(-1)^n\). In diesem Fall konvergiert \(\lim_{n \to \infty}a_n\) nicht, sondern der Wert divergiert zwischen -1 und +1. Trotzdem ist das arithmetische Mittel der \(a_i\) gleich 0.

Gruß Werner

Comments

Könntest du den Teil bei den zwei Summen mit (n-k)*a und das Majorantenkriterium genauer erklären? Das ist mir nicht ersichtlich geworden. Wie kommt man auf (n-k)*e?

VG und danke.

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Wie kommt man auf (n-k)*e?

links in der Summe stehen \((n-k)\) Summanden, von denen jeder einzelne kleiner ist ist als \(\epsilon\).

Ich habe meine Antwort nochmal überarbeitet und mehr Details ausgeführt.

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Danke für die schnelle Rückmeldung. Ich habe mir den Beweis nochmal angesehen und bemerkt das das ein anderer Weg ist als den den ich suche. Gibt es eine Lösung ohne Summenzeichen und Majoritätskriterium? VG

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Gibt es eine Lösung ohne Summenzeichen und Majoritätskriterium?

Ohne Summenzeichen!? Na ja - die Summe ist ja über das arithmetische Mittel da. Die darfst Du natürlich schreiben wie Du lustig bist ;-)$$\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2 + \dots + a_n$$Ist aber IMHO umständlicher.

Und ohne Majoritätskriterium! Obiger Beweis beruht auf der Idee, die Differenz von \(a\) und dem Grenzwert von \(\lim_{n \to \infty} b_n\) zu betrachten. Und man kann zeigen, dass dieser gegen 0 geht, da es eine andere Folge gibt, die größer ist, aber trotzdem gegen 0 geht. Du kannst das jetzt nennen, wie Du willst, aber im Prinzip wird es IMHO immer auf etwas vergleichbares hinaus laufen.

Was ist denn die Motivation Deiner Bemühung?

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Hallo Werner,

als Du den lim in 2 Teile getrennt hast in dem ersten Schritt, betrachtest du einmal die Summe von 1 bis k, und dann von k-1 bis n. Wieso hast Du in dem zweiten Teil von k-1 und nicht von k+1 genommen?

VG

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Hallo,

die Aufteilung ist von \(1\) bis \(k\) und von \(k+1\) bis \(\infty\). So wie Du es erwartest. Evt. musst Du die Ansicht auf Deinem Webbrowser vergrößern. Es ist möglich, dass in der Standardansicht eines Browsers ein 'Plus' \(\small +\) wie eine 'Minus' \(-\) aussieht.