Finden Sie zu jeder Menge eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Question

Die folgenden Mengen sind alle nicht kompakt. Finden Sie zu jeder Menge eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

1. A ⊂ R2 mit A := {(x, y) ∈ R2 : |xy| ≤ 1}

2. B ⊂ R3 mit B := B(0, 1) \ {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0}

3. C ⊂ R4 mit C = {(x1, x2, x3, x4) : 0 ≤ xi ≤ 1 für alle i = 1, 2, 3,4} \ Z4

Wer kann mir bitte helfen?

Answer 1

Eine offene Überdeckung von A ist z.B. die Menge aller offenen Kreisscheiben um (0/0) mit
Radius n, für alle n aus IN.
Die überdecken sogar ganz IR2.

Hat man eine endliche Auswahl davon, so ist eine davon die größte, etwa die mit Radius n.

In A liegen aber insbesondere alle Punkte der Form (  1/m  /  m) für jedes m aus IN.
Also auch der Punkt  P( 1/(n+1)  /  n+1), der hat als 2. Koordinate n+1, ist also sicherlich mehr als
n vom Nullpunkt entfernt.  Also ist P ein Punkt, der von der Teilauswahl nicht überdeckt wird.  q.e.d.

Comments

Ok dsnke. Aber wie sieht das dann in den einzelnen Fällen aus. Das ist mir nicht klar geworden.

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Ah sorry....jetzt hab ich es erst richtig verstanden...das war ja zu A. Kannst du vielleicht bei B und C helfen?

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Oder kann noch wer anderes helfen?