Abbildungen. Zeige: Relation ≈f = (a1,a2 )∈ AxA ι f(a1)= f(a2) ist eine Äquivalenzrelation auf A.

Question

Seien f: A→C, g: A→B, h: B→C Abbildungen mit f= h°g. Beweisen Sie, dass dann gilt:

a) Die Relation ≈_f = (a₁,a₂ )∈ AxA ι f(a₁)= f(a₂) eine Äquivalenzrelation auf A.

b) ≈_g ⊆ ≈_f

c) Wenn g surjektiv und ≈_g =≈_f ist, dann ist h Injektiv.

Answer 1

zu a)
Du musst also erst mal prüfen:   Für alle a aus A gilt   a ~ a,
also prüfen ob  f(a) = f(a) gilt. Das passt.
dannprüfen:      aus   a ~ b  folgt  b~a   (Sym!)
seien also a,b aus A mit   a ~ b
                                also  f(a) =  f(b)
Dann ist aber auc   f(b)  =  f(a)  also   b~a.
Dann transitiv:
   a ~ b   und b~c   also  f(a) = f(b)   und f(b) = f(c)
         Dann auch f(a) = f(c) wegen der Transitivität der Gleichheit
                          also   a ~ c.

Also Äqu.rel.