für die abelsche gruppe soll mit einer Abbildung ein Q-Vektorraum werden

Question

Für eine vorgegebene abelsche Gruppe (V, +) gibt es
höchstens eine Abbildung ℚ × V → V derart, dass sie mit dieser Abbildung als
Multiplikation mit Skalaren ein ℚ-Vektorraum wird.

Wie komme ich auf die gesuchte Abbildung? Und wie weise ich nach, dass es die einzige ist?

Answer 1

"höchstens eine" heißt ja wohl:    eine oder keine.
Du musst also nur zeigen, dass es nicht mehrere verschiedene gibt.
Und es ist ja schon verraten, was diese "Abbildung" ist.
(Das ist die S-Multiplikation!)

Kannst also anfangen:  Sei f:QxV → V eine solche Abbildung,
dann ist zu zeigen:     Für allevaus V und p/q aus Q ist     f((p/q) , v) = (p/q)*v

Da (V ,+,f) ein Vektorraum ist, gilt  f( 1,v) = v
[Das ist meistens das letzte Vektorraumaxiom.]

Dann ist z.B.   f(2,v) = f(1+1,v)   =  Distributivges!
                                    = f(1,v) + f(1,v)   =  v+v  =  2*v

Auf diese Weise kannst du per Induktion sicher f(n,v) = n*v zeigen.

Fehlen noch die Brüche, z.B.   f(1/q , v)  =   (1/q)  * v

Assoziativges. der S-Mult. besagt   f( (q * 1/q) , v ) = q * f(1/q , v)
und damit dabei wieder v entsteht muss   f 1/q , v ) =  (1/q)  * v sein.