Quadratische Ungleichung: x² - 6x - 5 > 2x

Question

Aufgabe: Lösungsmenge der Gleichung in Intervallschreibweise angeben.

x² - 6x - 5 > 2x

Also ich habe zuerst -2x und gerechnet auf beiden Seiten und dann die p-q Formel angewendet.

p= -8   q= -5

$$ { x }_{ 1/2 }=4\pm \sqrt { 21 } $$

$$ { x }_{ 1 }=4+4,583\quad \approx \quad 8,583 $$

$$ { x }_{ 2 }=\quad 4\quad -\quad 4,583\quad \approx \quad -\quad 0,583 $$

Wie kann es jetzt weitergehen? Muss ich das ganze in Intervalle aufteilen und dann einen Wert im jeweiligen Intervall herausnehmen um zu prüfen, ob er im Definitionsbereich liegt?

So zB:

$$ x\epsilon ]-\infty ;-0,583] $$

$$ x\epsilon [\infty ;8,583[ $$

$$ x\epsilon [-0,853;8,853] $$

1. Intervall: mögliche Zahl einsetzen:  x = -1

-1² -6*(-1)-5  > 2*(-1)

1 +6 -5 > -2  | +2

->   -2 > 0  (falsch)

2. Intervall, x = 10 einsetzen

10²-6*(10)-5 > 2*10

100-60-5>20 | -20

->   15 > 0

3. Intervall, x=0 einsetzen

0²-6*(0)-5 > 2* 0

->    -5 > 0  (falsch)

Daraus folgt:

$$ x\epsilon [\infty ;8,583[ $$

Ist das der richtige Lösungsweg? oder gibt es eine schnellere Alternative?

Answer 1

Hi,

wenn Du die Schnittstellen bestimmt hast, eigentlich nur noch eine Punktprobe machen. Es bietet sich x = 0 an. Der Rest ergibt sich ;).

Es ergibt sich das erste und zweite von Dir genannte Intervall (beachte, dass man das für gewöhnlich andersrum schreibt, auch sind da die Klammern nicht richtig.)

x ∈ ]-∞;-0,583[ und x ∈ ]8,583;∞[

(Bei Dir ist auch der erste Fall falsch gerechnet)

Grüße

Comments

Achso, für  4 > 0 ist der 1. Intervall dann auch richtig.

Dann müsste die Lösungsmenge lauten:

$$ x\epsilon [-\infty ;-0.583]\quad \cap \quad [8.583;\infty ] $$

Wäre das so korrekt? Oder müssen da noch geschweifte Klammern dazu wegen der Intervallschreibweise?

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Das muss so aussehen:

>$$x\in ]-\infty ;-0.583[\quad \cap \quad x\in]8.583;\infty [$$

Die Klammern waren falschrum ;)