lim n -> unendlich wurzel(e^{4n}+e^{n}+3)-wurzel(e^{2n}+3n+1)

Question

Hallo alle zusammen.

Brauche Hilfe mit meiner Aufgabe.

Aufgaben:

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } -\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 }  $$

Meine Idee:

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim }  \frac { (\sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } -\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } )(\sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 } ) }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 }  } $$

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim }   \frac { ({ e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3)-({ e }^{ 2n }+3n+1) }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 }  }  $$

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { { e }^{ 4n }+3n+2 }{ \sqrt { { e }^{ 4n }+{ e }^{ 2n }+3 } +\sqrt { { e }^{ 2n }+3n+1 }  } $$

Soll ich dann alles durch e^{4n} teilen?

Answer 1

√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) - √(e^{2·n} + 3^n + 1)

= (√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) - √(e^{2·n} + 3^n + 1))*(√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) + √(e^{2·n} + 3^n + 1)) / (√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) + √(e^{2·n} + 3^n + 1))

= ((e^{4·n} + e^(2·n) + 3) - (e^{2·n} + 3^n + 1)) / (√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) + √(e^{2·n} + 3^n + 1))

= (e^{4·n} - 3^n + 2) / (√(e^{4·n} + e^(2·n) + 3) + √(e^{2·n} + 3^n + 1))

Wenn wir jetzt nur mal die Potenzen beachten die am schnellsten gegen unendlich gehen hätten wir

e^{4·n}/(√(e^{4·n}) + √(e^{2·n})) = e^{4·n}/(e^{2·n} + e^n) = e^{2·n}/(1 + 1/e^n)

Der Zähler wärst hier allerdings deutlich schneller weswegen der Grenzwert unendlich ist.