Eine Frage zum ggT ( größten gemeinsamen Teiler)

Question

Es seien a, b ∈ ℕ teilerfremd und a > b. Zeigen Sie, dass ggT(a + b, a − b) ≤ 2 ist

Answer 1

Du musst zeigen, es kann keinen ggt(a+b  , a-b) geben, der größer als 2 ist.

Sei also n aus N ein Teiler von a+b und von a - b.

Dann ist es auch ein Teiler der Summe dieser beiden, das wäre  2a.
außerdem ist es ein Teiler der Differenz dieser beiden das wäre  2b

Also ist n ein gemeinsemer Teiler von 2a und von 2a.  Da 2 eine Primzahl ist,
ist also    (n teiler von 2     oder n teiler von a )     und   ( n teiler von 2    oder   n Teiler von  b)
Also gibt es vier fälle zu betrachten
(n teiler von 2      und   ( n teiler von 2  )       also   n=1  oder  n=2
(n teiler von 2       und   (   n Teiler von  b)    also   n=1  oder  n=2, 2 nur die Teiler 1 und 2 hat
(n teiler von a       und   (   n Teiler von  2)   also   n=1  oder  n=2, 2 nur die Teiler 1 und 2 hat
(n teiler von a       und   (   n Teiler von  b)   also n=1 (laut Vor  a,b teilerfremd)
In allen Fällen ist also   n kleiner oder gleich 2
q.e.d.