Bestimmen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:

Question

z²-2z+1-2i=0

wie soll man das denn jetzt bestimmen? -ich habe für z = x+iy eingesetzt.. aber irgendwie bringt mich das nicht weiter..

Answer 1

Du kannst "ganz normal" die pq-Formel verwenden ;).

z_1,2 = 1 ± √(1 - (1-2i)) = 1 ± √2i = 1 ± (1+i)

z₁ = 1 + 1+i = 2+i

z₂ = 1 - 1-i = -i

Grüße

Comments

Vielen Dank, aber wieso ist die Wurzel von 2i = 1+i ??

Sorry für die eventuell dummen fragen.. aber danke für die Umstande

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Entweder man weiß es oder man rechnet es nochmals aus :D.

Ersteres ist natürlich einfacher :P. Dumm ist die Frage aber so oder so nicht! :)

Rechnerisch gezeigt:

2i = (a+bi)^2    (Um ohne Wurzel zu arbeiten quadriert)

2i = a^2+2abi-b^2

Es muss a^2 - b^2 = 0 gelten, da sonst ja ein Realteil aufkommen würde. Also a^2 = b^2

Außerdem: 2 = 2ab -> a = 1/b

Quadrieren wir nun dies:

a^2 = 1/b^2 

Ersetzen nun a^2 von oben:

b^2 = 1/b^2   |*b^2

b^4 = 1

b = ±1

Damit haben wir also 

±√2i = ±(1+i)

(Das doppelte Vorzeichen links kommt daher, da wir das quadratisch angeschaut haben)