Körperhomomorphismus injektiv?

Question

Es gibt eine Abbildung von g: M→N. Zur zeigen ist g iinjektiv.

Comments

Diese Aussage hängt von der Beschaffenheit von \( M \) und \( N \) ab.

Sie gilt genau dann, wenn \( |M| \leq |N| \) ist.

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@Mister: Das stimmt nicht.

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@10001000Nick1: Doch, das stimmt.

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Nein, eben nicht. Sei \(M=\{1,2\}, N=\{1,2,3\}\). Dann ist \(|M|\leq |N|\). Ich definiere \(g: M\to N, g(1)=g(2):=1\). Willst du mir jetzt erzählen, dass g injektiv ist?

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Nein, ich will dir erzählen, dass ein \( g \) existiert, das injektiv ist.

Wir müssen der mehrdeutigen Aufgabenstellung ja irgendwie auf den Grund gehen.

Wie deutest du die Aufgabenstellung?

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Das ist ja schön, aber das war nicht die Aufgabe. Aufgabe ist laut Fragesteller: "Zeige, dass g injektiv ist." Und nicht "Zeige, dass ein injektives g existiert."
Man soll also zeigen, dass alle solche g's injektiv sind. Und das ist einfach falsch.

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Moment, du hast bei der Deutung der Aufgabenstellung die Überschrift übersehen, in der \( g \) als Körperhomomorphismus angegeben wird.

Insofern folgt die Aussage \( |M| \leq |N| \) aus der Injektivität von \( g \).

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Na toll. Man hätte wenigstens in der Frage nochmal erwähnen können, dass g ein Körperhomomorphismus ist...

Answer 1

Falls du Satz verwenden kannst:

"Bei jedem Körperhom. gilt g(x)=0 nur für x=0."

ist es einfach.

Seien x,y aus M mit g(x)=g(y),  also  g(x)-g(y) = 0

also wegen Hom             g(x-y) =  0

also mit Satz (s.o.)       x-y = 0

also    x  =  y

Comments

Du hast ja von der Defintion vom Körperhom g(x)=0 angewendet.

Hat das ein bestimmten Grund? Hättest du auch nicht g(x)=1 oder g(x+y)=g(x)+g(y) nehmen können?

Mi ch interessiert es wie ihr mit Definitionen arbeitet?

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Injektivität zu beweisen, geht ja eigentlich immer so

Seien x,y mit g(x)=g(y)

bzw   g(x)-g(y) = 0

Und da fiel mir ein, dass man hier mit der HOM-Definition

umformen kann aus  g(x-y).

Das war eigentlich die Idee.

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Wer sagt denn überhaupt, dass die Aussage, so wie sie oben steht, wahr ist? Steht irgendwo, dass g ein Homomorphismus ist?

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@10001000Nick1: Ja, es steht in der Überschrift.