Gegeben: komplexe Zahl und Ungleichung. Berechne folgenden Ausdruck und vereinfache soweit wie möglich.

Question

Sei z = x + iy (mit x; y ∈ R) eine komplexe Zahl, die die Ungleichung z +ΙzΙ ≠ 0 erfüllt.

Berechnen Sie den Ausdruck

\( \left(\sqrt{|z|} \cdot \frac{z+\mid z \|}{|z+| z||}\right)^{2} \)

und vereinfachen Sie soweit wie möglich.

Das Ergebnis soll z sein.

Answer 1

ersetze zunächst jedes z durch x+iy sowie

$$ |z| =\sqrt{x^2+y^2} $$

Wenn bei dem rechten Faktor das fehlende Betragsstrichlein dahin positioniert werden sollte, wo ich es vermute, lässt sich da was kürzen.

Comments

wo fehlt ein betragsstrich? was du geschrieben hast hab ich gemacht, aber ich verrechne mich dauernd und bekomme nicht z raus...

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poste einfach mal, was Du so gemacht hast.

Im Zähler sehe ich in Deiner Darstellung 3 Betragstriche - ist da einer zuviel oder einer zuwenig ?

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leider einer zuviel... nicht kürzbar und mein problem fängt da an wo ich unten im betrag x+iy+√(x²+y2) steht. Wie kann ich denn davon den Betrag ausrechnen?

Ansonsten gehts gut ist halt elends lange rechnung aber mit dem betrag komm ich halt nicht weiter...

kann ich sagen das ist halt √(x²+√i²y²+x²+y2)???

vielen dank

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$$ \frac{z+|z|}{|z+|z||} $$
$$ \frac{a-ib+\sqrt{a^2+b^2}}{|a-ib+\sqrt{a^2+b^2}|} $$
$$ \frac{a-ib+\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{(a+\sqrt{a^2+b^2})^2+b^2}} $$
$$ \frac{a-ib+\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{(a^2+2a\sqrt{a^2+b^2}+a^2+b^2)+b^2}} $$
$$ \frac{a-ib+\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{2a^2+2a\sqrt{a^2+b^2}+2b^2}} $$
$$ \frac{a+\sqrt{a^2+b^2}-ib}{\sqrt2 \sqrt{a^2+a\sqrt{a^2+b^2}+b^2}} $$
und das nochmal schnell quadrieren ...

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genial vielen dank... ich muss es nochmal in ruhe nachrechnen aber das heißt du hast den betrag einfach so gerechnet indem du wurzel und die summe der quadrate von den einzelnen teilen genommen hast?

vielen dank

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frage: wenn ich quadriere ändere ich doch den wert, oder?

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meinst du ich soll mit dem nenner erweitern? ich kriegs einfach nicht hin. ich komme da nie auf das ergebnis (das soll a+bi sein..)

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Ich habe nur den "Bruch-Teil" der Aufgabenstellung bearbeitet - der muss ja noch weieter in den gegebenen Term eingesetzt werden. Deshalb quadrieren.

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ach so ja klar:) quadrieren und mal IzI nehmen. :)

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wie bist du im dritten schritt vorgegangen?

ich schreibe mal nur den Nenner hin:

Ia-ib+√(a²+b²)I = √(a²+(-i)²b²+a²+b²) hätte ich geschrieben und dann √(a²-ib²+a²+b²)

wie bist du vorgegangen ?

vielen dank

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a+ Wurzel stellt den Realteil dar - ib den Imaginärteil. Deswegen habe ich das zusammensortiert und umklammert. Realteil ist eine Summe, die binomisch geformelt quadriert werden muss.

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achso das heißt mit dem betrag kann ich auf diese weise nur im körper der komplexen zahlen rechnen? dann wird alles klar vielnen dank ichrechne es mal zum ende und stell dann die rechnung noch mal online, wär toll wenn du dann nochmal drübergucken könntest... vielen dank für die erklärung

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wenn ich mich nicht verrechnet habe stehe ich jetzt bei

(x³+2x²yi+x²√(x²+y²)+2xyi√(x²+y²)-xy²-y²√(x²+y²))  /  (x²+x√(x²+y²)+y²)

wie bekomme ich den blöden bruch weg? ich hab versucht was auszuklammern und zu kürzen, das klappt aber nicht. übrig bleiben sollte x+yi

...

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Es geht allein um den blöden Bruch - solange das z reel ist, ist der 1 oder -1 , aber sobald ein Imaginärteil ungleich  Null dazukommt, klappt das nicht mehr.

Schau nochmal genau die Aufgabenstellung an - jedenfalls stimmt die Annahme nicht für "wirklich" komplexe Zahlen.

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welche annahme stimmt nicht?

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du kommst da auch nicht auf x+yi oder?
irgendwas stimmt da nicht...

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Wenn man z in Polarkoordinaten schreibt, sieht man leicht, dass sich der ganze Ausdruck wieder zu z vereinfacht.

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Oh -

Bin ja volle Fahrt in die Sackgasse gerannt !

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Hab bei wiki Polarkoordinaten angeschaut

wie meinst du das in diesem fall konkret? Liebe Grüße

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$$ z=|z| \cdot  e^{i\phi} $$Term aus der Aufgabe:
$$ \frac{z+|z|}{|z+|z||}$$
einsetzen:
$$ \frac{|z| \cdot  e^{i\phi}+|z|}{||z| \cdot  e^{i\phi}+|z||}$$