Question

Bestimmen Sie das Supremum und Infi mum der Menge

\( \left\{\frac{2}{n+1} | n \in \mathbb{N} \text { mit } n \geq 2\right\} \subset \mathbb{R} \)

Geben Sie einen vollständigen Beweis für Ihre Antwort (Tipp: vollständige
Induktion und archimedisches Axiom)

Comments

ich würde sagen das supremum ist 0 aber wie kann ich mit induktion zeigen das etwas gegen unendlich oder gegen 0 konvergiert?

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ups verschrieben infimum 0 und supremum 2/3 ?

Answer 1

Mit Induktion kannst du beweisen
  2  /  (n+1)   <= 2/3 für alle n>=2   also 2/3 eine obere Schranke
und  für n=2 ist es gleich 2/3, also ist 2/3 das Supremum.

keine größere untere Schranke als 0 kriegst du mit Archimedes hin.

Comments

Vielen Dank für Deine Antwort.
Wie mache ich das jetzt konkret? ich habe den Induktionsanfang mit n=2 da steht dann 2/3=2/3 und der Induktionsschritt für n->n+1  2/(n+2)≤2/3  ??? wie geht das?

Ganz liebe Grüße

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ich habe den Induktionsanfang mit n=2 da steht dann 2/3=2/3

also ist  auch  2/3  <=  2/3richtig.

und der Induktionsschritt für n->n+1  2/(n+2)≤2/3  ??? wie geht das?

es ist  1 < 2 , also auch   |+n

   n+1 < n+2                 |:(n+2)

also   (n+1)/n+2) < 1

also  1/(n+2)   <  1/(n+1)    |*2

       2/(n+2)    <  2/(n+1)      und wegen der Gültigkeit für n   2/(n+1)  < 2/3

also wegen der Transitivität der <-Releation

    2/(n+2)   <   2/3    q.e.d.

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vielen dank, voll genial.
ich hatte so angefangen beim Induktionsschritt:
2/(n+2)=... und dann wollte ich es umformen bis irgendwas mit 1/(n+1)+....o.ä. dasteht um dann die induktionsvorausetzung einzusetzen, also erst umformen und dann durch die IV auf die Ungleichung kommen, gäbe es da auch eine Möglichkeit?

Ganz liebe Grüße Dein Weg ist sehr logisch:)

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Müsste auf deinem Weg eigentlich auch gehen.

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aber wie? da ich ja keine (un-)gleichung habe kann ich ja nur auseinanderziehen und so aber nicht den Wert verändern also nicht einfach mal 2 sondern nur erweitern, kürzen und so...

und bei der null? ich kann zwar nachweisen das alles größer 0 ist aber wie zeige ich dass es auch wirklich die größte untere schranke ist?

vielen dank

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Kann mir jemand helfen dabei zu beweisen das 0 das Infimum ist?